Soustava dvou rovnic · Programa con Martin

Dvě rovnice, dvě neznámé

Jedna rovnice s jednou neznámou — to už umíš. Dneska přitvrdíme: dvě neznámé najednou, x a y.

Jedna rovnice na dvě neznámé nestačí. Vezmi x + y = 10. Vyhovuje x = 1 a y = 9. Ale taky x = 4 a y = 6. Nebo x = 7,5 a y = 2,5. Nekonečně možností — rovnice sama neurčí, která platí.

Proto potřebuješ druhou rovnici. Když k x + y = 10 přidáš x − y = 4, najednou sedí jen jediná dvojice: x = 7 a y = 3. Zkus jinou — vždycky jedna z rovnic zaprotestuje.

Dvěma rovnicím dohromady se říká soustava rovnic. Řešením není jedno číslo, ale dvojice čísel — hodnota pro x a hodnota pro y, které splní obě rovnice zároveň.

Dnes se naučíš soustavu číst, zapsat a ověřit řešení. Metody, jak řešení najít, přijdou v dalších dvou lekcích.

Jonáš dá Emě hádanku: „Myslím si dvě čísla. Dohromady dají 12.“ Ema pokrčí rameny: „To může být 6 a 6, ale i 1 a 11. Málo informací.“ Jonáš přidá: „A jejich rozdíl je 2.“ Ema chvíli škrábe na papír: „Tak to je 7 a 5. Jiná dvojice obě podmínky nesplní.“ Jonáš přikývne: „Přesně tak funguje soustava. Jedna věta o dvou číslech nestačí. Dvě věty — a čísla jsou lapená.“

💡

Řešení soustavy si vždycky ověř dosazením do OBOU rovnic. Dvojice, která splní jen jednu, řešením není.

Jak soustavu číst a ověřit řešení

Zápis soustavy: dvě rovnice pod sebou, často se svorkou. Třeba:

x + y = 9 x − y = 3

Co hledáme: dvojici čísel x a y, která splní obě rovnice najednou. Zapisuje se x = 6, y = 3, nebo jako uspořádaná dvojice [6; 3] — první číslo je vždy x, druhé y.

Jak ověřit, že dvojice je řešení: dosaď do obou rovnic.

Zkusím [6; 3]: první rovnice 6 + 3 = 9 — sedí. Druhá rovnice 6 − 3 = 3 — sedí. Je to řešení.

Zkusím [5; 4]: první rovnice 5 + 4 = 9 — sedí. Druhá rovnice 5 − 4 = 1, ale má být 3 — nesedí. Není to řešení, i když jedna rovnice prošla.

Selská metoda pro jednoduché soustavy: typ „součet a rozdíl“ vyřešíš i úvahou. Když dvě čísla dají součet 9 a rozdíl 3, větší číslo je (9 + 3)/2 = 6 a menší (9 − 3)/2 = 3. Na složitější soustavy budeš mít od příští lekce pořádné metody. Dneska stačí rozumět, co soustava říká a jak se kontroluje.

Příklad 1: je [4; 2] řešením?

Zadání: Ověř, jestli dvojice x = 4, y = 2 řeší soustavu x + y = 6 a x − y = 2.

Postup: Dosadím do první rovnice: 4 + 2 = 6. Má být 6. Sedí.

Dosadím do druhé rovnice: 4 − 2 = 2. Má být 2. Sedí.

Odpověď: Ano, [4; 2] je řešení — splnila obě rovnice.

Dvojice [5; 1] by první rovnici taky splnila (5 + 1 = 6), ale druhou ne (5 − 1 = 4 ≠ 2). Proto se vždycky testují obě.

Příklad 2: najdi řešení úvahou

Zadání: Dvě čísla mají součet 14 a rozdíl 4. Najdi je.

Postup: Zapíšu jako soustavu: x + y = 14, x − y = 4.

Úvaha: kdyby byla čísla stejná, každé by bylo 7. Rozdíl 4 znamená, že jedno je o 2 nad sedmičkou a druhé o 2 pod ní.

Takže x = 9 a y = 5.

Zkouška: 9 + 5 = 14 — sedí. 9 − 5 = 4 — sedí.

Odpověď: x = 9, y = 5, zapsáno [9; 5].

Příklad 3: soustava ze slovní úlohy

Zadání: Tereza koupila propisku a sešit za 42 Kč. Sešit byl o 8 Kč dražší než propiska. Zapiš soustavu (zatím neřeš).

Postup: Zvolím neznámé: p = cena propisky, s = cena sešitu. Neznámé se nemusí jmenovat x a y.

První věta: dohromady 42 Kč, tedy p + s = 42.

Druhá věta: sešit o 8 Kč dražší, tedy s = p + 8.

Zápis: p + s = 42 a s = p + 8.

Dvě věty ze zadání, dvě rovnice. Každá věta s číslem obvykle dává jednu rovnici — to se bude hodit u slovních úloh v lekci 7.

⚠️

Jedna splněná rovnice nestačí. Nejčastější chyba u ověřování: dosadíš do první rovnice, sedí, a prohlásíš dvojici za řešení. Jenže řešení soustavy musí splnit obě rovnice zároveň. Vždycky dva dosazovací řádky, ne jeden.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Soustavy typu součet a rozdíl. Odpovídej hodnotou x — piš celé číslo.

Procvičit příklady

Na papír

Čtení, ověřování a jedna soustava úvahou.

Ověř, jestli [5; 3] řeší soustavu x + y = 8 a x − y = 2. Piš oba dosazovací řádky.
Ověř, jestli [6; 2] řeší soustavu x + y = 8 a x − y = 2. Napiš, která rovnice selhala.
Najdi úvahou dvě čísla se součtem 20 a rozdílem 6. Udělej zkoušku v obou rovnicích.
Zapiš jako soustavu: dvě čísla mají součet 30 a jedno je o 10 větší než druhé. Neřeš, jen zapiš.

Teď ty 💪

Umíš vysvětlit, proč jedna rovnice na dvě neznámé nestačí.
Řešení zapisuješ jako dvojici a ověřuješ v obou rovnicích.
Soustavu typu součet a rozdíl vyřešíš úvahou a zkouška ti sedí.

✅

Hotovo, když: Poznáš, jestli dvojice čísel je řešením soustavy, a jednu jednoduchou soustavu jsi vyřešil(a) úvahou se zkouškou.

Co si z téhle lekce odnést

Soustava = dvě rovnice, které musí platit zároveň.
Řešením je dvojice čísel [x; y], ne jedno číslo.
Ověření = dosazení do obou rovnic. Jedna nestačí.
Každá věta s číslem ve slovní úloze obvykle dává jednu rovnici.
Součet a rozdíl: větší číslo = (součet + rozdíl)/2.