Sčítací metoda · Programa con Martin

Sečti rovnice, neznámá zmizí

Druhá metoda na soustavy je ještě rychlejší — když se hodí. Jmenuje se sčítací.

Podívej se na soustavu x + y = 8 a x − y = 2. V první rovnici je +y, ve druhé −y. Co se stane, když obě rovnice sečteš? Levé strany dohromady: x + y + x − y = 2x. To y se vyruší! Pravé strany: 8 + 2 = 10. Zbyde 2x = 10, takže x = 5.

Smíš to udělat, protože rovnice je jako váha v rovnováze. Když ke dvěma vyváženým vahám přidáš obsah jedné na druhou — levou misku k levé, pravou k pravé — rovnováha zůstane.

Sčítací metoda je nejsilnější, když u jedné neznámé stojí opačná čísla: +y a −y, +3x a −3x. Když tam nejsou, umíš si je vyrobit — vynásobíš jednu rovnici vhodným číslem.

U přijímaček se hodí mít v ruce obě metody a vybrat podle zadání. Dneska doplníš tu druhou.

Adam a Tereza závodí, kdo dřív vyřeší x + y = 15 a x − y = 3. Tereza jede dosazovací metodou: vyjádřit, dosadit, roznásobit… Adam jen sečte rovnice pod sebou: „2x = 18, x = 9, y je 15 minus 9, takže 6. Hotovo.“ Tereza dopočítá o minutu později — stejný výsledek. „Jak to?!“ Adam ukáže na +y a −y: „Ta rovnice si o sečtení říkala sama. Když vidíš opačná znaménka, sčítací metoda je zkratka.“

💡

Před řešením mrkni na znaménka. Opačné dvojice (+y a −y) = sečti hned. Stejné dvojice (+y a +y) = jednu rovnici napřed vynásob −1 a pak sečti.

Sčítací metoda krok za krokem

Ukážu na soustavě: 2x + y = 11 a x − y = 1.

Krok 1: Najdi, co se vyruší. U y stojí +1 a −1 — opačná čísla. Paráda, sčítám rovnou.

Krok 2: Sečti levé strany a pravé strany. Levé: 2x + y + x − y = 3x. Pravé: 11 + 1 = 12. Nová rovnice: 3x = 12.

Krok 3: Vyřeš. x = 4.

Krok 4: Dopočítej y dosazením do kterékoliv původní rovnice. Vezmu druhou: 4 − y = 1, takže y = 3.

Zkouška: 2 · 4 + 3 = 11 — sedí. 4 − 3 = 1 — sedí. Odpověď: [4; 3].

Když se nic neruší samo: soustava x + y = 7 a x + 2y = 10. U x je +1 a +1 — stejná znaménka. Vynásobím první rovnici číslem −1: −x − y = −7. Teď sečtu s druhou: −x − y + x + 2y = y a −7 + 10 = 3. Vyšlo y = 3, dopočítám x = 4.

Násobit rovnici smíš jakýmkoliv číslem kromě nuly — jen ho musíš použít na obě strany a všechny členy.

Příklad 1: opačná znaménka, sčítej hned

Zadání: Vyřeš soustavu x + y = 12 a x − y = 4.

Postup: U y jsou opačná znaménka. Sečtu rovnice:

Levé strany: x + y + x − y = 2x. Pravé strany: 12 + 4 = 16.

2x = 16, takže x = 8.

Dopočítám z první rovnice: 8 + y = 12, takže y = 4.

Zkouška: 8 + 4 = 12 — sedí. 8 − 4 = 4 — sedí.

Odpověď: [8; 4].

Příklad 2: nejdřív vynásob, pak sečti

Zadání: Vyřeš soustavu 2x + y = 14 a x + y = 9.

Postup: U y je +1 a +1 — sečtením by se nevyrušilo nic. Vynásobím druhou rovnici číslem −1: −x − y = −9.

Sečtu s první: 2x + y − x − y = x a 14 − 9 = 5.

Vyšlo x = 5. Dopočítám: 5 + y = 9, takže y = 4.

Zkouška: 2 · 5 + 4 = 14 — sedí. 5 + 4 = 9 — sedí.

Odpověď: [5; 4].

Příklad 3: násobení větším číslem

Zadání: Vyřeš soustavu 3x + 2y = 19 a x − y = 3.

Postup: Chci vyrušit y. V první rovnici je 2y, ve druhé −y. Vynásobím druhou rovnici dvěma: 2x − 2y = 6. Teď mám +2y a −2y.

Sečtu: 3x + 2y + 2x − 2y = 5x a 19 + 6 = 25.

5x = 25, takže x = 5. Dopočítám z x − y = 3: 5 − y = 3, takže y = 2.

Zkouška: 3 · 5 + 2 · 2 = 15 + 4 = 19 — sedí. 5 − 2 = 3 — sedí.

Odpověď: [5; 2].

⚠️

Násobíš-li rovnici, násob VŠECHNO. Klasická chyba: z x − y = 3 uděláš 2x − 2y = 3 a pravou stranu zapomeneš. Rovnice je váha — když zdvojnásobíš levou misku a pravou necháš, rovnováha je pryč a výsledek bude nesmysl. Číslem násob každý člen vlevo i celou pravou stranu.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Soustavy se součtem a rozdílem — jako dělané pro sčítací metodu. Sečti rovnice, y zmizí. Odpověz hodnotou x.

Procvičit příklady

Na papír

Tři soustavy sčítací metodou. Piš rovnice pod sebe, sčítej po sloupcích.

Vyřeš x + y = 16 a x − y = 6. Sečti, dopočítej, zkouška.
Vyřeš 2x + y = 13 a x + y = 8. Jednu rovnici napřed vynásob −1.
Vyřeš 3x + 2y = 16 a x − 2y = 0. Co se vyruší samo?
Poslední soustavu vyřeš pro kontrolu ještě dosazovací metodou. Musí vyjít totéž.

Teď ty 💪

Poznáš na první pohled, kdy se něco vyruší samo (opačná znaménka u stejné neznámé).
Umíš vynásobit celou rovnici číslem — všechny členy včetně pravé strany.
Jedna soustava vyšla stejně oběma metodami.

✅

Hotovo, když: Tři soustavy vyřešené sčítací metodou, zkoušky sedí a jedna soustava ti vyšla stejně i dosazovací metodou.

Co si z téhle lekce odnést

Sčítací metoda: sečti rovnice tak, aby se jedna neznámá vyrušila.
Funguje hned, když má neznámá opačná znaménka (+y a −y).
Když ne, vynásob jednu rovnici vhodným číslem — celou, obě strany.
Po x vždy dopočítej y z libovolné původní rovnice.
Obě metody vedou ke stejnému výsledku. Vybírej podle zadání.