Prvočísla · Programa con Martin

Čísla, která nejdou rozbít

Dvanáct bonbónů rozdělíš spravedlivě mezi 2, 3, 4 nebo 6 dětí. Ale 13 bonbónů? Ať zkusíš jakoukoli skupinu, vždycky něco zbyde. Třináctka je prvočíslo — číslo, které se nedá spravedlivě rozdělit.

Přesně řečeno: prvočíslo je číslo větší než 1, které je dělitelné jen jedničkou a samo sebou. Žádný jiný dělitel nemá.

Čísla, která další dělitele mají (jako 12 s děliteli 2, 3, 4, 6), se jmenují složená — dají se „složit“ vynásobením menších čísel: 12 = 3 × 4 = 2 × 6.

A jednička? Ta není ani prvočíslo, ani složené číslo. Je to samotář se zvláštním statutem — zapamatuj si to, je to oblíbený chyták.

Prvočísla jsou stavební kostky všech čísel: každé složené číslo jde rozložit na součin prvočísel (12 = 2 × 2 × 3), a to jen jedním způsobem. Proto se jim říká atomy matematiky.

Družina, 17 dětí, a vychovatelka chce družstva. „Po dvou!“ — jeden zbyde. „Po třech!“ — dva zbydou. Filip se směje: „To můžete zkoušet do večera. Sedmnáct je prvočíslo — nejde rozdělit na stejné skupiny. Leda po jednom, nebo všichni dohromady.“ Vychovatelka se zamyslí: „A co s tím?“ Filip: „Buď se někdo přidá — osmnáct jde po dvou, po třech, po šesti i po devíti. Nebo jeden píská jako rozhodčí a šestnáct hraje čtyři na čtyři.“ Prvočíslo v praxi: poznáš ho podle toho, že vždycky někdo zbyde.

💡

Prvních osm prvočísel se nauč zpaměti: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Jsou to nejčastější „kostky“ — potkáš je v každém rozkladu.

Jak prověřit, jestli je číslo prvočíslo

Postup pro čísla do stovky — zkoušíš malé dělitele po řadě, s pravidly z minulé lekce:

Krok 1: Je dělitelné dvěma? (Sudá poslední číslice.) Pokud ano a číslo není samotná 2 → složené.

Krok 2: Je dělitelné třemi? (Ciferný součet.) Pokud ano a není to samotná 3 → složené.

Krok 3: Je dělitelné pěti? (Konec 0 nebo 5.) Pokud ano a není to samotná 5 → složené.

Krok 4: Je dělitelné sedmi? Tady pravidlo nemáš — zkus vydělit (nebo projdi násobky: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98).

Když všechny čtyři testy selžou, je číslo do 100 prvočíslo. Větší dělitele u čísel do stovky zkoušet nemusíš — kdyby číslo mělo dělitele většího než 10, musí mít i parťáka menšího než 10 (třeba 91 = 7 × 13: ten menší z dvojice tě prozradí dřív).

Pozor na tři chytáky: 1 není prvočíslo (má jen jednoho dělitele, ne dva). 2 je prvočíslo — jediné sudé. A 91 vypadá jako prvočíslo, ale 7 × 13 = 91. Sedmičkový test nevynechávej.

Je 51 prvočíslo?

Vypadá „lichě a nenápadně“ — přesně jako prvočíslo. Ale testy:

Dvojka: končí jedničkou, liché ✗ (nedělí).

Trojka: ciferný součet 5 + 1 = 6. Šestka jde dělit třemi → 51 je dělitelné třemi!

51 : 3 = 17, takže 51 = 3 × 17. Číslo je složené.

Poučení: trojka je tichý zabiják „nenápadných“ čísel. Ciferný součet dělej vždycky, i když číslo vypadá nedobytně.

Je 47 prvočíslo?

Dvojka: končí sedmičkou, liché ✗.

Trojka: 4 + 7 = 11, jedenáctka třemi nejde ✗.

Pětka: nekončí na 0 ani 5 ✗.

Sedmička: násobky sedmičky kolem: 42, 49. Čtyřicet sedm mezi nimi není ✗.

Všechny testy selhaly → 47 je prvočíslo. Rozdělit 47 dětí na stejné skupiny nejde — vždycky někdo zbyde.

Rozlož 60 na součin prvočísel

Dělím postupně nejmenšími prvočísly:

60 : 2 = 30
30 : 2 = 15
15 : 2 nejde → zkusím 3: 15 : 3 = 5
5 je prvočíslo — konec.

Rozklad: 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Zkouška: 2 × 2 = 4, 4 × 3 = 12, 12 × 5 = 60 ✓. Tenhle rozklad na kostky se ti bude hodit hned v příští lekci u hledání společných dělitelů a násobků.

⚠️

Jednička není prvočíslo. Prvočíslo musí mít přesně DVA různé dělitele (1 a sebe) — jednička má jen jeden. A druhý chyták: 2 JE prvočíslo, i když je sudé. Je to jediné sudé prvočíslo na světě.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Prověřuj čísla testy: dvojka, trojka (ciferný součet), pětka, sedmička. Odpovídej ano nebo ne.

Procvičit příklady

Na papír

Postav si vlastní síto — nejslavnější trik na prvočísla, starý přes dva tisíce let.

Napiš čísla 2 až 50 do tabulky. Zakroužkuj 2 a škrtni všechny další násobky dvojky. Zakroužkuj 3 a škrtni její násobky. Totéž s 5 a 7. Co zůstalo nezaškrtnuté, jsou prvočísla — vypiš je.
Prověř testy z lekce: jsou 39, 43, 57 a 61 prvočísla? U každého napiš, který test rozhodl.
Rozlož na součin prvočísel: 24, 45 a 100. U každého udělej zkoušku vynásobením.
Najdi všechna prvočísla mezi 20 a 40. Kolik jich je?

Teď ty 💪

Řekneš definici prvočísla a víš, proč do ní nepatří jednička.
Prověříš číslo do 100 čtyřmi testy (2, 3, 5, 7).
Rozložíš číslo do 100 na součin prvočísel postupným dělením.

✅

Hotovo, když: Rozeznáš prvočíslo od složeného čísla testy dělitelnosti a každé číslo do 100 rozložíš na prvočíselné kostky.

Co si z téhle lekce odnést

Prvočíslo má přesně dva dělitele: jedničku a sebe. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Složené číslo jde poskládat z menších: 12 = 2 × 2 × 3.
Jednička není prvočíslo ani složené číslo. Dvojka je jediné sudé prvočíslo.
Test do stovky: zkus dělitele 2, 3, 5, 7. Když selžou, je to prvočíslo.
Rozklad na prvočísla = rozebrání čísla na atomy. Bude se hodit u NSD a NSN.