Součet úhlů v trojúhelníku · Programa con Martin

Tři úhly, vždycky 180°

Narýsuj jakýkoli trojúhelník — hubený, široký, křivý. Změř jeho tři úhly a sečti je. Vyjde 180°. Zkus jiný trojúhelník. Zase 180°. A znovu. Vždycky 180°.

Tohle je jedno z nejslavnějších pravidel celé geometrie: součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180° — přesně přímý úhel, rovná čára.

Můžeš si to dokázat rukama: narýsuj trojúhelník na papír, vystřihni ho a utrhni všechny tři rohy. Přilož utržené rohy vrcholy k sobě, vedle sebe. Složí se do rovné čáry. Tři úhly libovolného trojúhelníku dohromady vydláždí přímku.

K čemu je to dobré? Ke stejnému kouzlu jako minule: nemusíš měřit všechno. Znáš dva úhly → třetí dopočítáš: 180 minus ty dva. Trojúhelník ti třetí úhel prozradí sám.

A navíc je to pravidlo-detektor: trojúhelník s úhly 90°, 60° a 45° prostě neexistuje. Součet 195° ho prozradí.

Ve třídě se rýsují trojúhelníky. Jonáš měří svůj: 74°, 62° a u třetího úhlu se trápí — papír je u vrcholu pomačkaný a úhloměr klouže. Ema ho pozoruje: „Tak ho neměř. Spočítej ho.“ Jonáš zvedne obočí. „Součet je vždycky 180. Máš 74 a 62, to je 136. Do stovky osmdesátky zbývá…“ Jonáš dopočítá: „44!“ Pro jistotu roh uhladí a přeměří: úhloměr ukazuje 44°, možná o fous víc. „Výpočet je přesnější než moje měření,“ uzná. Od té doby třetí úhel neměří nikdo z lavice.

💡

Trhací důkaz udělej doopravdy — jednou vystřižený a složený trojúhelník si zapamatuješ na celý život líp než deset pouček.

Dopočítání třetího úhlu

Postup je dvoukrokový:

Sečti dva známé úhly. Třeba 74° + 62° = 136°.
Odečti od 180°. 180 − 136 = 44°. Třetí úhel má 44°.

Zápis vzorcem: γ = 180° − α − β.

Kontrola smyslem: výsledek musí být větší než 0° (jinak by trojúhelník nešel zavřít) a menší než 180°. A rychlá vizuální kontrola: vyšel ostrý úhel u špičatého rohu? Tupý u rozvaleného?

Speciální trojúhelníky, které to pravidlo řídí:

Pravoúhlý (jeden úhel 90°): na zbylé dva zbývá přesně 90°. Proto jsou oba ostré.
Rovnostranný (všechny strany i úhly stejné): 180 : 3 = 60° každý. Vždycky, bez výjimky.
Rovnoramenný (dvě stejné strany): úhly u základny jsou stejné. Znáš vrcholový úhel 40°? Na dva stejné zbývá 140°, tedy po 70°.

Detektor nemožných trojúhelníků: součet jiný než 180° = takový trojúhelník neexistuje. Dva pravé úhly v jednom trojúhelníku? 90 + 90 = 180 a na třetí nezbývá nic — nejde to. Dva tupé? Ještě hůř. V trojúhelníku je vždycky nejvýš jeden pravý nebo tupý úhel.

Dopočítej třetí úhel: 74° a 62°

Krok 1: Sečtu známé: 74 + 62 = 136°.

Krok 2: Odečtu od 180: 180 − 136 = 44°.

Kontrola: 74 + 62 + 44 = 180 ✓. A smysl: všechny tři úhly jsou ostré, takový trojúhelník klidně existuje (říká se mu ostroúhlý).

Přesně tohle počítal Jonáš v příběhu — a výpočet porazil pomačkaný papír.

Pravoúhlý trojúhelník s úhlem 35°

Trojúhelník má pravý úhel (90°) a jeden úhel 35°. Jaký je třetí?

180 − 90 − 35 = 55°.

Rychlejší trik pro pravoúhlé trojúhelníky: dva ostré úhly si dělí zbylých 90°. Takže 90 − 35 = 55. Stejný výsledek, o krok míň.

Kontrola: 90 + 35 + 55 = 180 ✓. A oba zbylé úhly vyšly ostré — u pravoúhlého trojúhelníku to tak musí být vždycky.

Existuje trojúhelník s úhly 100°, 45° a 45°?

Sečtu: 100 + 45 + 45 = 190°.

To je víc než 180° → takový trojúhelník neexistuje. Kdybys ho zkusil(a) narýsovat, ramena se nikdy nepotkají tak, aby úhly seděly — trojúhelník se „nezavře“.

Oprava, aby existoval: srazit tupý úhel na 90° (90 + 45 + 45 = 180 ✓ — rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, půlka čtverce). Součet 180° je zákon: co ho poruší, to na papíře nenajdeš.

⚠️

Nezapomeň, že pravidlo platí pro VNITŘNÍ úhly. Když v zadání vidíš úhel dokreslený vně trojúhelníku (za prodlouženou stranou), nejdřív ho přepočítej na vnitřní — jsou to vedlejší úhly, takže vnitřní = 180° minus ten venkovní. Teprve pak sčítej do 180°.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Dopočítávej třetí úhel trojúhelníku: 180 minus dva zadané. Odpověď piš jako číslo (stupně bez značky).

Procvičit příklady

Na papír

Začni nůžkami, skonči výpočty.

Trhací důkaz: narýsuj velký trojúhelník, vystřihni, utrhni rohy a slož je vrcholy k sobě. Nalep výsledek do sešitu — měl by tvořit přímku.
Dopočítej třetí úhel: 60° a 70°; 90° a 28°; 115° a 40°. U každého napiš kontrolní součet.
Rovnoramenný trojúhelník má u vrcholu 36°. Jaké jsou úhly u základny? A jaké úhly má rovnostranný trojúhelník?
Rozhodni, které trojúhelníky existují: (80°, 60°, 40°), (90°, 90°, 0°), (55°, 55°, 70°). U neexistujících napiš proč.

Teď ty 💪

Dopočítáš třetí úhel ze dvou zadaných a ověříš součtem 180°.
Víš, proč v trojúhelníku nemůžou být dva pravé úhly.
Umíš z hlavy úhly rovnostranného trojúhelníku a zbytek do 90° u pravoúhlého.

✅

Hotovo, když: Použiješ pravidlo 180°: dopočítáš třetí úhel, odhalíš nemožný trojúhelník a viděl(a) jsi důkaz vlastníma rukama.

Co si z téhle lekce odnést

Součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku je přesně 180°.
Třetí úhel = 180° minus dva známé. Výpočet bývá přesnější než měření.
Rovnostranný trojúhelník: 3 × 60°. Pravoúhlý: dva ostré úhly dají dohromady 90°.
Součet jiný než 180° = trojúhelník neexistuje. Nejvýš jeden tupý nebo pravý úhel.
Trhací důkaz: tři utržené rohy složené k sobě vytvoří přímku.