Pythagorova věta

Nejslavnější rovnice školy

Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník s jedním pravým úhlem — s rohem jako u papíru. Dvě strany, které ten roh svírají, se jmenují odvěsny. Třetí strana, ta nejdelší naproti pravému úhlu, je přepona.

A teď ta věta. Před 2500 lety si Řekové všimli: když nad každou stranou postavíš čtverec, obsahy čtverců nad odvěsnami dají dohromady přesně obsah čtverce nad přeponou.

Zapsáno čísly: a² + b² = c², kde a, b jsou odvěsny a c přepona.

K čemu to je? Znáš dvě strany a třetí dopočítáš — bez měření. Zeď, žebřík, úhlopříčka hřiště, displej telefonu. Všude, kde se schovává pravý úhel.

Dnes větu pochopíš a spočítáš s ní první strany. Mocniny a odmocniny z minulých lekcí se konečně předvedou v akci.

Tereza s Filipem natahují síť na školním hřišti. Potřebují lano z rohu do protějšího rohu. Hřiště měří 12 m a 9 m. Filip chce jít lano změřit krokama. Tereza kreslí do sešitu: „To je pravoúhlý trojúhelník. Odvěsny 12 a 9, lano je přepona.“ Počítá: 12² + 9² = 144 + 81 = 225. Odmocnina z 225 je 15. „Patnáct metrů. Kup lano a nemusíš nikam chodit.“ Filip pak lano natáhne — a měří přesně 15 m. Věta stará 2500 let funguje i na hřišti.

Jak dopočítat stranu

Hledáš přeponu (nejdelší stranu):

1. Umocni obě odvěsny: a², b².
2. Sečti: a² + b².
3. Odmocni: c = √(a² + b²).

Příklad: odvěsny 3 a 4 → 9 + 16 = 25 → c = √25 = 5.

Hledáš odvěsnu (znáš přeponu a jednu odvěsnu):

1. Umocni přeponu i známou odvěsnu.
2. Odečti: c² − a².
3. Odmocni: b = √(c² − a²).

Příklad: přepona 13, odvěsna 5 → 169 − 25 = 144 → b = √144 = 12.

Zapamatuj si logiku místo dvou vzorců: čtverec nad přeponou je součet, takže k přeponě se sčítá a od přepony se odčítá.

Poslední krok je vždy odmocnina — z c² zpátky na c. Na to je tu lekce 2. A vždycky napiš jednotku: strany v metrech, obsahy čtverců v m².

Příklad 1: přepona z odvěsen 6 a 8

Odvěsny a = 6 cm, b = 8 cm. Hledám přeponu c.

c² = a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

c = √100 = 10 cm.

Kontrola smyslem: přepona musí být nejdelší strana. 10 > 8 > 6 — sedí. Trojice 6, 8, 10 je mimochodem jen zdvojnásobená slavná trojice 3, 4, 5.

Příklad 2: odvěsna z přepony 17 a odvěsny 15

Přepona c = 17 m, odvěsna a = 15 m. Hledám druhou odvěsnu b.

b² = c² − a² = 17² − 15² = 289 − 225 = 64.

b = √64 = 8 m.

Kontrola zpátky sčítáním: 15² + 8² = 225 + 64 = 289 = 17². Sedí. Kdyby mi vyšla odvěsna delší než přepona, hned vím, že jsem místo odčítání sčítal(a).

Příklad 3: je trojúhelník pravoúhlý?

Trojúhelník má strany 5, 12 a 13 cm. Je pravoúhlý?

Věta funguje i obráceně: když a² + b² = c², trojúhelník je pravoúhlý.

Nejdelší strana je 13, ta by byla přepona. Zkusím: 5² + 12² = 25 + 144 = 169. A 13² = 169.

Rovná se — trojúhelník je pravoúhlý. Tímhle testem si zedníci ověřují pravé úhly: natáhnou provázky 3 m, 4 m a 5 m, a když sedí, roh je pravý.

Zahraj si to

Než půjdeš na list, osahaj si to očima. Tady to není písemka — je to hra. Ťukej, dokud to neuvidíš.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Dopočítej chybějící stranu. Trojúhelník vidíš nahoře.

Procvičit příklady

Na papír

Kresli si trojúhelníky. Náčrtek zachrání víc bodů než kalkulačka.

1. Nakresli pravoúhlý trojúhelník, vyznač pravý úhel a popiš strany a, b, c. Napiš k němu větu a² + b² = c².

2. Odvěsny měří 9 cm a 12 cm. Spočítej přeponu i s celým postupem: mocniny, součet, odmocnina.

3. Přepona měří 25 m, jedna odvěsna 24 m. Spočítej druhou odvěsnu a udělej kontrolu sčítáním.

4. Ověř výpočtem, jestli je trojúhelník se stranami 8, 15, 17 pravoúhlý.

Teď ty 💪

1. Poznám přeponu: nejdelší strana naproti pravému úhlu.
2. K přeponě čtverce sčítám, k odvěsně odčítám — a vím proč.
3. Nezapomínám na poslední krok: odmocninu.

Co si z téhle lekce odnést

• V pravoúhlém trojúhelníku platí a² + b² = c², kde c je přepona.
• Přepona: sečti čtverce odvěsen a odmocni.
• Odvěsna: odečti čtverce a odmocni.
• Věta funguje i jako test pravého úhlu (trojice 3, 4, 5).
• Platí jen pro pravoúhlé trojúhelníky.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Sisällön käyttöehdot