Vytýkání

Roznásobení pozpátku

Minule: 3(x + 4) = 3x + 12. Dnes pojedeš opačným směrem. Dostaneš 3x + 12 a máš z toho udělat zpátky 3(x + 4).

Téhle zpáteční jízdě se říká vytýkání: najdeš, co mají všechny členy společné, a vytáhneš to před závorku.

3x + 12: oba členy jsou dělitelné třemi. 3x = 3 · x a 12 = 3 · 4. Trojku vytknu: 3(x + 4).

K čemu to je? Vytknutý výraz je kratší, líp se s ním počítá a za pár lekcí uvidíš, že vytýkání otevírá rovnice, které jinak nejdou. Je to jedna z nejužitečnějších úprav v celé algebře.

Nejlepší na vytýkání: má vestavěnou kontrolu. Roznásob výsledek zpátky — musí vyjít přesně zadání. Když nevyjde, vytkl(a) jsi špatně. Žádné dohady, papír ti to řekne sám.

Ema balí dárkové sáčky na školní akci. Má 24 bonbonů a 18 samolepek a všechny sáčky mají být úplně stejné. „Kolik sáčků můžu udělat?“ Jonáš počítá: „Něco, čím jde dělit 24 i 18… šestka!“ Šest sáčků, v každém 4 bonbony a 3 samolepky. Ema to zapíše po matematicku: 24b + 18s = 6(4b + 3s). „Hele, to je vytýkání,“ směje se. „Šestku jsem vytkla před závorku a v závorce zůstalo, co je v jednom sáčku.“

Jak vytknout krok za krokem

1. Najdi společného činitele čísel. U 6x + 9 se ptej: jaké největší číslo dělí 6 i 9? Trojka.

2. Zkontroluj písmena. Když x mají všechny členy, jde vytknout i x. U 6x + 9 druhý člen x nemá — vytýká se jen trojka.

3. Vyděl každý člen tím, co vytýkáš, a zbytky napiš do závorky. 6x : 3 = 2x, 9 : 3 = 3. Výsledek: 3(2x + 3).

4. Kontrola roznásobením. 3 · 2x + 3 · 3 = 6x + 9. Sedí.

Vytýkání písmene: x² + 5x. Oba členy mají x: x² = x · x a 5x = x · 5. Vytknu x: x(x + 5).

Číslo i písmeno najednou: 4x² + 8x. Čísla: dělí je čtyřka. Písmena: oba mají x. Vytknu 4x: 4x(x + 2).

Speciální situace: když vytkneš celý člen, zůstane po něm v závorce jednička, ne nula. 5x + 5 = 5(x + 1). Kontrola: 5 · x + 5 · 1 = 5x + 5. Sedí.

Příklad 1: vytkni z 8x + 12

Největší číslo, které dělí 8 i 12: čtyřka.

Vydělím členy: 8x : 4 = 2x a 12 : 4 = 3.

Zapíšu: 4(2x + 3).

Kontrola roznásobením: 4 · 2x = 8x, 4 · 3 = 12. Sedí.

Šlo by vytknout i dvojku: 2(4x + 6). Není to chyba, ale v závorce zůstalo něco, co jde vytknout dál. Domluva zní: vytýkej co nejvíc.

Příklad 2: vytkni z x² + 7x

Čísla 1 a 7 nemají společného dělitele kromě jedničky. Ale písmena: x² = x · x a 7x = x · 7 — oba členy mají x.

Vytknu x: x² : x = x a 7x : x = 7.

Výsledek: x(x + 7).

Kontrola: x · x + x · 7 = x² + 7x. Sedí. Vytknout jde i písmeno — a přesně tohle za pár týdnů odemkne rovnice typu x² = 7x.

Příklad 3: vytkni z 6a² + 9a

Čísla: 6 a 9 dělí trojka. Písmena: a² i a mají společné a.

Vytýkám tedy 3a: 6a² : 3a = 2a a 9a : 3a = 3.

Výsledek: 3a(2a + 3).

Kontrola: 3a · 2a = 6a² (trojka krát dvojka, a krát a) a 3a · 3 = 9a. Sedí.

Postup je vždycky dvojitý: zvlášť čísla, zvlášť písmena, pak obojí dohromady před závorku.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si mocniny — x² = x · x je důvod, proč jde z x² + 5x vytknout x.

Procvičit příklady

Na papír

Vytkni, roznásob zpátky, porovnej. Třikrát na každém řádku.

1. Vytkni největší možné číslo: 10x + 15, 6a − 8, 12 + 18b. Každý výsledek ověř roznásobením.

2. Vytkni písmeno: x² + 9x, 5y − y². Ověř roznásobením.

3. Vytkni číslo i písmeno: 8x² + 12x. Napiš oba kroky hledání (čísla zvlášť, písmena zvlášť).

4. Najdi chybu: spolužák napsal 4x + 4 = 4(x + 0). Oprav a vysvětli jednou větou, co se ztratilo.

Teď ty 💪

1. Hledám společného dělitele zvlášť u čísel a zvlášť u písmen.
2. Po vytknutí celého členu zůstává v závorce jednička.
3. Každé vytknutí kontroluju roznásobením zpátky.

Co si z téhle lekce odnést

• Vytýkání je roznásobení pozpátku: 3x + 12 = 3(x + 4).
• Hledej největšího společného dělitele čísel a společná písmena.
• Po vytknutí celého členu zůstává jednička: 5x + 5 = 5(x + 1).
• Kontrola je vestavěná: roznásob zpátky a porovnej.
• Vytýkej co nejvíc — v závorce už nesmí zbýt nic společného.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Sisällön käyttöehdot