Jehlan: povrch a objem

Pyramida na lavici

Krychli a kvádr znáš, válec taky. Dneska přibude těleso, které zná celý svět z Egypta: jehlan. Podstava dole, špička nahoře, stěny z trojúhelníků.

My se soustředíme na nejběžnější typ: čtyřboký jehlan se čtvercovou podstavou. Přesně jako pyramidy v Gíze.

Objem jehlanu má krásně jednoduchý vzorec: V = (Sp · v) / 3. Sp je obsah podstavy, v je výška — kolmá vzdálenost od podstavy ke špičce. To dělení třemi není trik na zkoušení paměti: do hranolu se stejnou podstavou a výškou se vejdou přesně tři jehlany. Jehlan je třetina svého hranolu.

Povrch se skládá: čtvercová podstava + čtyři trojúhelníkové stěny. S = Sp + Spl, kde Spl je plášť (ty čtyři trojúhelníky).

Jediná zákeřnost: jehlan má dvě různé výšky — výšku tělesa (uvnitř, ke špičce) a výšku stěny (po povrchu trojúhelníku). Do objemu patří první, do povrchu druhá. Dnes se naučíš je nezaměnit.

Ema skládá z papíru dárkovou krabičku ve tvaru jehlanu. „Potřebuju vědět, kolik papíru — a kolik bonbónů se dovnitř vejde.“ Adam rozloží šablonu: čtverec a čtyři trojúhelníky. „Papír je povrch: čtverec plus čtyři trojúhelníky. Bonbóny jsou objem: obsah podstavy krát výška, děleno třemi.“ Ema zvedne obočí: „Děleno třemi? To se dovnitř vejde tak málo?“ Adam přikývne: „Špička nahoře žere prostor. Jehlan je jen třetina krabice, ze které vyrůstá.“

Objem a povrch krok za krokem

Objem čtyřbokého jehlanu se čtvercovou podstavou:

Krok 1: Obsah podstavy. Čtverec se stranou a: Sp = a². Krok 2: Vynásob výškou tělesa v (kolmo od středu podstavy ke špičce). Krok 3: Vyděl třemi. V = (a² · v) / 3.

Příklad: a = 6 cm, v = 5 cm. Sp = 36 cm². V = (36 · 5)/3 = 180/3 = 60 cm³.

Povrch:

Krok 1: Podstava: Sp = a². Krok 2: Jedna trojúhelníková stěna: základna a, výška stěny va (měřená po stěně od hrany podstavy ke špičce). Obsah = (a · va)/2. Krok 3: Stěny jsou čtyři: Spl = 4 · (a · va)/2 = 2 · a · va. Krok 4: Sečti: S = a² + 2 · a · va.

Příklad: a = 6 cm, va = 5 cm. S = 36 + 2 · 6 · 5 = 36 + 60 = 96 cm².

Ty dvě výšky: výška tělesa v jde vnitřkem, výška stěny va po povrchu — je vždycky delší než v (spojuje je Pythagorova věta přes polovinu strany podstavy). Zadání obvykle prozradí obě, ale musíš je správně roztřídit: v do objemu, va do povrchu.

Příklad 1: objem stanu

Zadání: Stan má tvar jehlanu se čtvercovou podstavou o straně 3 m a výškou 2 m. Kolik vzduchu je uvnitř?

Postup: Ptá se na objem (kolik se vejde), jednotky budou m³.

Podstava: Sp = 3² = 9 m².

Objem: V = (9 · 2)/3 = 18/3 = 6 m³.

Kontrola smyslem: kvádr 3 × 3 × 2 m by měl 18 m³; stan je jeho třetina, 6 m³. Sedí.

Odpověď: Ve stanu je 6 m³ vzduchu.

Příklad 2: povrch dárkové krabičky

Zadání: Papírový jehlan má čtvercovou podstavu se stranou 10 cm a výšku stěny 8 cm. Kolik papíru je potřeba na celou krabičku včetně dna?

Postup: Ptá se na materiál → povrch, jednotky cm².

Podstava: 10² = 100 cm².

Jedna stěna: (10 · 8)/2 = 40 cm². Čtyři stěny: 160 cm².

Celkem: S = 100 + 160 = 260 cm².

Odpověď: Je potřeba 260 cm² papíru. Všimni si: v zadání byla výška stěny (8 cm po povrchu) — přesně ta patří do povrchu.

Příklad 3: obě výšky v jednom zadání

Zadání: Jehlan má čtvercovou podstavu se stranou 6 cm, výšku tělesa 4 cm a výšku stěny 5 cm. Spočítej objem i povrch.

Postup: Roztřídím výšky: 4 cm jde vnitřkem → objem. 5 cm po stěně → povrch.

Objem: Sp = 36 cm², V = (36 · 4)/3 = 48 cm³.

Povrch: stěna (6 · 5)/2 = 15 cm², čtyři stěny 60 cm², plus podstava 36 cm². S = 96 cm².

Kontrola: výška stěny (5) je větší než výška tělesa (4) — tak to má být, po šikmé stěně je to ke špičce dál.

Odpověď: V = 48 cm³, S = 96 cm².

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Objemy jehlanů se čtvercovou podstavou: a² krát v, děleno třemi. Piš celé číslo v cm³.

Procvičit příklady

Na papír

Náčrtek jehlanu ke každé úloze. Vyznač, která výška je která.

1. Jehlan: podstava 9 × 9 cm, výška tělesa 10 cm. Spočítej objem a ověř, že je třetinou kvádru 9 × 9 × 10.

2. Jehlan: podstava 8 × 8 cm, výška stěny 6 cm. Spočítej povrch včetně podstavy.

3. Jehlan: podstava 6 × 6 cm, výška tělesa 4 cm, výška stěny 5 cm. Spočítej objem i povrch a zkontroluj, že jsi výšky nezaměnil(a).

4. Stan jehlan: podstava 2,5 × 2,5 m, výška 1,8 m. Kolik m³ vzduchu je uvnitř? Zaokrouhli na desetiny.

Teď ty 💪

1. Umíš vysvětlit, proč se objem jehlanu dělí třemi.
2. Rozlišuješ výšku tělesa (objem) a výšku stěny (povrch).
3. Jednotky hlídáš: objem v cm³ nebo m³, povrch v cm² nebo m².

Co si z téhle lekce odnést

• Objem jehlanu: V = (obsah podstavy · výška) / 3. Jehlan je třetina hranolu.
• Povrch: podstava + čtyři trojúhelníkové stěny.
• Výška tělesa jde vnitřkem (objem), výška stěny po povrchu (povrch).
• Výška stěny je vždycky delší než výška tělesa.
• Jednotky prozradí vzorec: cm³ = objem, cm² = povrch.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Podmínky užití obsahu