Kvadratická funkce (úvod)

Funkce, ze které není přímka

Zatím každá funkce kreslila přímku. Dneska poznáš první, která ne: kvadratickou funkci. Nejjednodušší z nich je y = x².

To malé číslo nahoře znamená druhou mocninu: x² = x · x. Pro x = 3 je y = 9. Pro x = 5 je y = 25. Nic nového — mocniny znáš.

Nové je, co to udělá s grafem. Zkus dosadit záporné číslo: pro x = −3 je y = (−3) · (−3) = +9. Stejně jako pro +3! Záporný vstup dává stejný výstup jako kladný.

Graf proto není přímka, ale oblouk ve tvaru písmene U. Říká se mu parabola. Je dokonale souměrná podle svislé osy — levá půlka je zrcadlo pravé.

Parabolu kreslí svět kolem tebe pořád: míč hozený šikmo letí po parabole (jen otočené vzhůru nohama), proud vody z fontány taky. Dneska si ji nakreslíš z tabulky a naučíš se ji poznat.

Adam hází na koš a Sofie ho natáčí na zpomalené video. „Koukej na dráhu míče,“ přehrává záznam, „nahoru, vrchol, dolů — krásný oblouk.“ Adam kreslí prstem po obrazovce: „A je souměrný. Míč stoupá stejně dlouho, jako pak padá.“ Sofie přikývne: „To je parabola. Stejná křivka jako graf y = x², jen obrácená. Fyzika si ji kreslí sama — my se ji v matice učíme číst.“

Parabola z tabulky

Krok 1: Tabulka pro y = x², včetně záporných x.

x: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 y: 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9

Krok 2: Přečti, co tabulka říká. Hodnoty klesají k nule a pak zrcadlově rostou. Nejnižší bod je [0; 0] — říká se mu vrchol paraboly. A y nikdy není záporné: druhá mocnina nemůže vyjít pod nulou.

Krok 3: Zakresli a spoj plynulým obloukem. Tady pravítko odlož! Parabola je křivka — spoj body hladkou rukou, žádné lomené čáry mezi body.

Symetrie jako kontrola: y pro x = −2 musí být stejné jako pro x = 2. Když v tabulce nejsou stejná čísla zrcadlově, je tam početní chyba.

Varianty, které potkáš:

y = 2x² — stejný tvar, ale štíhlejší (roste dvakrát rychleji). y = x² + 1 — celá parabola posunutá o 1 nahoru, vrchol v [0; 1]. y = −x² — otočená vzhůru nohama, jako dráha míče. Vrchol je nejvyšší bod.

Poznávačka na závěr: v předpisu lineární funkce je x samotné. Jakmile vidíš x², přímku nečekej — bude to oblouk.

Příklad 1: tabulka a graf y = x²

Zadání: Sestav tabulku y = x² pro x od −3 do 3 a nakresli graf.

Postup: Počítám po jedné: (−3)² = 9, (−2)² = 4, (−1)² = 1, 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9.

Zakreslím sedm bodů a spojím plynulým obloukem. Vrchol je v počátku [0; 0].

Kontrola symetrie: dvojice x = −3 a x = 3 dávají obě y = 9. Levá půlka zrcadlí pravou. Sedí.

Příklad 2: posunutá parabola y = x² + 2

Zadání: Jak se liší graf y = x² + 2 od grafu y = x²?

Postup: Spočítám pár hodnot: pro x = 0 je y = 2. Pro x = 1 je y = 3. Pro x = 2 je y = 6. Pro x = −1 je y = 3.

Každá hodnota je přesně o 2 větší než u y = x². Celý oblouk se tedy zvedl o 2 nahoru.

Odpověď: Stejný tvar, vrchol se posunul z [0; 0] do [0; 2]. Přičtené číslo za x² posouvá parabolu svisle — úplně stejně, jako b posouvalo přímku.

Příklad 3: přímka, nebo parabola?

Zadání: Rozhodni podle předpisu, co je přímka a co parabola: y = 3x + 7, y = x² − 4, y = −2x, y = −x² + 5.

Postup: Hledám x².

y = 3x + 7: jen x, žádná mocnina → přímka (stoupá). y = x² − 4: je tam x² → parabola, posunutá o 4 dolů, vrchol [0; −4]. y = −2x: jen x → přímka (klesá, prochází počátkem). y = −x² + 5: x² s minusem → parabola vzhůru nohama, vrchol [0; 5] je nejvyšší bod.

Odpověď: přímka, parabola, přímka, obrácená parabola. Rozhoduje jediné: je v předpisu x²?

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si dosazování do výrazů — u parabol dosazuješ pořád, jen s mocninou navíc. Piš celé číslo.

Procvičit příklady

Na papír

Dvě paraboly a jedna poznávačka. Body spojuj obloukem, ne pravítkem.

1. Sestav tabulku y = x² pro x od −3 do 3 a nakresli parabolu. Zkontroluj symetrii tabulky.

2. Do stejného obrázku nakresli y = x² − 2. Kam se posunul vrchol?

3. Spočítej y = 2x² pro x = −2, −1, 0, 1, 2 a porovnej s y = x²: která parabola je štíhlejší?

4. Roztřiď na přímky a paraboly: y = 5x − 1, y = x² + 3, y = −x², y = 0,5x. U parabol napiš vrchol.

Teď ty 💪

1. Víš, proč (−3)² = 9, a při dosazování píšeš závorky.
2. Tvoje tabulka y = x² je zrcadlově souměrná a graf je plynulý oblouk s vrcholem.
3. Podle předpisu rozlišíš přímku od paraboly na první pohled.

Co si z téhle lekce odnést

• Kvadratická funkce obsahuje x². Její graf je parabola, ne přímka.
• Parabola je souměrná — záporná x dávají stejná y jako kladná.
• Nejnižší (u obrácené nejvyšší) bod paraboly je vrchol.
• Přičtené číslo posouvá parabolu nahoru/dolů, minus před x² ji obrací.
• Při dosazování záporných čísel do mocniny vždy piš závorky.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Podmínky užití obsahu