Lomené výrazy · Programuj s Martinem

Zlomek, ve kterém bydlí x

Zlomky znáš. Výrazy s písmenkem znáš. Lomený výraz je obojí dohromady: zlomek, ve kterém je neznámá — a často přímo ve jmenovateli.

Třeba 6/x. Nebo 5/(x − 3). Vypadá to nebezpečně, ale pravidla jsou stejná jako u obyčejných zlomků. Jen s jednou novinkou.

Ta novinka se jmenuje podmínka. Nulou se dělit nesmí — to platí od první třídy. Takže jmenovatel nikdy nesmí vyjít nula. U 6/x nesmí být x = 0. U 5/(x − 3) nesmí být x = 3, protože 3 − 3 = 0.

Podmínku píšeš vždycky hned na začátek, ještě než začneš počítat. Je to jako zákaz vjezdu: jedno konkrétní číslo tam prostě nesmí.

V deváté třídě a u přijímaček se podmínky hodnotí. Kdo je zapomene, ztrácí body i za jinak správný výpočet. Dneska se naučíš podmínky určovat a lomené výrazy krátit.

Tereza řeší domácí úkol a volá Jonášovi: „Vyšlo mi x + 2 a je to prý špatně. Přitom jsem krátila správně!“ Jonáš se podívá na zadání: (x² + 2x)/x. „Krácení máš dobře. Ale chybí ti podmínka x ≠ 0. Když za x dosadíš nulu, dělíš nulou — a to nejde.“ Tereza zamručí: „Takže celý výpočet správně a bod dolů kvůli jednomu řádku?“ Přesně tak. Podmínka je řádek, který se píše první a zapomíná nejčastěji.

💡

Podmínku hledej otázkou: „Kdy je jmenovatel nula?“ Vyřeš tuhle mini rovnici a zakázané číslo máš.

Podmínky a krácení krok za krokem

Krok 1: Najdi jmenovatel. To je spodek zlomku. U 8/(x − 5) je jmenovatel x − 5.

Krok 2: Polož jmenovatel roven nule a vyřeš. x − 5 = 0, takže x = 5. Tohle číslo je zakázané.

Krok 3: Zapiš podmínku. Píše se: x ≠ 5. Znak ≠ čti „nesmí se rovnat“.

Krok 4: Teprve teď počítej dál — třeba krať. Krátit znamená vydělit čitatel i jmenovatel stejným výrazem. U obyčejných zlomků krátíš čísly: 6/8 = 3/4 (děleno dvěma). U lomených výrazů krátíš i písmenky.

Příklad: (3x)/(6x). Nahoře i dole je 3x. Zkrátím: vyjde 1/2. Podmínka: x ≠ 0.

Pozor na jedno pravidlo: krátit smíš jen činitele, ne sčítance. Činitel je to, co se násobí. U (2x + 4)/2 nemůžeš škrtnout jen tu čtyřku — nejdřív vytkni: 2x + 4 = 2 · (x + 2). Pak (2 · (x + 2))/2 = x + 2. Dvojka se krátila celá, protože násobila celou závorku.

Příklad 1: podmínka výrazu 7/(x − 3)

Zadání: Urči podmínku, kdy má výraz 7/(x − 3) smysl.

Postup: Jmenovatel je x − 3. Položím ho roven nule: x − 3 = 0. Vyřeším: x = 3. Tohle je zakázané číslo — kdyby x bylo 3, dělil bych nulou.

Zápis: x ≠ 3.

Zkouška úvahou: Dosadím x = 4: jmenovatel je 1, výraz je 7. V pořádku. Dosadím x = 3: jmenovatel je 0 a 7/0 neexistuje. Podmínka sedí.

Příklad 2: zkrať (2x + 6)/2

Zadání: Zjednoduš výraz (2x + 6)/2.

Postup: Nahoře je součet, takže nesmím škrtat jen kousek. Nejdřív vytknu dvojku: 2x + 6 = 2 · (x + 3).

Výraz teď vypadá takhle: (2 · (x + 3))/2. Dvojka je nahoře i dole jako činitel, můžu ji zkrátit.

Výsledek: x + 3.

Kontrola dosazením: Pro x = 1 dá původní výraz (2 + 6)/2 = 4. Nový výraz dá 1 + 3 = 4. Sedí. Jmenovatel byla jen dvojka, žádné x — podmínku tu psát nemusím.

Příklad 3: zkrať (x² + 5x)/x

Zadání: Zjednoduš (x² + 5x)/x a urči podmínku.

Postup: Nejdřív podmínka: jmenovatel je x, takže x ≠ 0.

Nahoře vytknu x: x² + 5x = x · (x + 5).

Výraz je (x · (x + 5))/x. Zkrátím x nahoře i dole.

Výsledek: x + 5, podmínka x ≠ 0.

Kontrola: Pro x = 2 dá původní výraz (4 + 10)/2 = 7. Nový dá 2 + 5 = 7. Sedí. A nula zůstává zakázaná, i když ve výsledku už žádný zlomek není — podmínka platí pro původní zadání.

⚠️

Neškrtej sčítance. Ve výrazu (x + 4)/4 se čtyřky zkrátit nesmí — nahoře se čtyřka přičítá, nekrátí se. Škrtat smíš jen to, co násobí celý čitatel a celý jmenovatel. Když si nejsi jistý(á), dosaď číslo: pro x = 4 je (4 + 4)/4 = 2, ale po špatném škrtnutí by zbylo x = 4. Nesedí — škrtnutí bylo špatně.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si dosazování do výrazů — u lomených výrazů ho použiješ na kontrolu. Piš celá čísla.

Procvičit příklady

Na papír

Podmínky a krácení. U každého výrazu piš podmínku jako první řádek.

Urči podmínky výrazů: 5/x, 3/(x − 7), 10/(x + 2). Ke každému napiš zakázané číslo se znakem ≠.
Zkrať: (3x + 9)/3, (5x + 10)/5, (4x + 8)/4. Vždycky nejdřív vytkni, pak škrtni.
Zkrať (x² + 7x)/x. Nezapomeň na podmínku.
Zkontroluj si jeden výsledek dosazením: zvol x = 2, spočítej původní výraz i zkrácený. Musí vyjít totéž.

Teď ty 💪

Umíš říct, proč jmenovatel nesmí být nula, a najít zakázané číslo u 4/(x − 6).
Zkrátil(a) jsi (3x + 9)/3 na x + 3 — přes vytknutí, ne škrtáním trojky u devítky.
Aspoň jeden výsledek sis ověřil(a) dosazením čísla a sedělo to.

✅

Hotovo, když: Máš na papíře tři podmínky se znakem ≠, tři zkrácené výrazy a jednu kontrolu dosazením, která vyšla.

Co si z téhle lekce odnést

Lomený výraz je zlomek s neznámou ve jmenovateli, třeba 6/x.
Jmenovatel nesmí být nula — podmínku (x ≠ číslo) piš jako první řádek.
Zakázané číslo najdeš rovnicí: jmenovatel = 0.
Krátit smíš jen činitele. U součtu nahoře nejdřív vytkni, pak škrtej.
Kontrola dosazením odhalí špatné krácení za deset sekund.