Pravděpodobnost (úvod) · Programuj s Martinem

Kolik šancí máš

Hodíš kostkou. Padne šestka? Možná. Matematika umí to „možná“ změřit — říká se tomu pravděpodobnost.

Základní vzorec je jedna věta: pravděpodobnost = příznivé možnosti / všechny možnosti. Kostka má 6 stěn (všechny možnosti), šestka je jedna z nich (příznivá). Pravděpodobnost šestky je 1/6.

Zapisuje se zlomkem, desetinným číslem nebo procenty: 1/6 ≈ 0,17 ≈ 17 %. My budeme nejčastěji psát zlomky — jsou přesné.

Pravděpodobnost je vždycky mezi 0 a 1. Nula = nemožné (na kostce padne sedmička). Jednička = jisté (padne číslo od 1 do 6). Čím blíž jedničce, tím spíš se to stane.

Jedna podmínka, na kterou se zapomíná: vzorec platí, jen když jsou všechny možnosti stejně pravděpodobné. Férová kostka ano. Cinknutá kostka ne. Počasí taky ne — „prší/neprší“ nejsou dvě rovnocenné možnosti.

Pojď počítat šance — na kostkách, kuličkách a jednom kole štěstí.

Jonáš s Emou hrají deskovku a Jonáš potřebuje hodit šestku. „Už třikrát nepadla, teď už musí!“ Ema zavrtí hlavou: „Kostka nemá paměť. Každý hod je nová šance 1 z 6 — jedno, co bylo předtím.“ Jonáš hodí. Čtyřka. „Vidíš. A kdybys chtěl sudé číslo, máš šance tři ze šesti, tedy polovinu.“ Jonáš počítá: „Takže na sudou vsadím spíš než na šestku. Tak se hraje s matikou v zádech.“

💡

Vždycky si polož dvě otázky v tomhle pořadí: Kolik je VŠECH možností? Kolik z nich je PŘÍZNIVÝCH? Pak už jen zlomek: příznivé nahoru, všechny dolů.

Výpočet pravděpodobnosti krok za krokem

Krok 1: Spočítej všechny možnosti. Kostka: 6. Mince: 2. Sáček s 5 červenými a 3 modrými kuličkami: 8.

Krok 2: Spočítej příznivé možnosti — ty, na které se ptá zadání. „Padne sudé číslo“ na kostce: sudá jsou 2, 4, 6, tedy 3 možnosti.

Krok 3: Vyděl. P = příznivé/všechny = 3/6 = 1/2. Zkrať, když to jde.

Krok 4: Kontrola rozumem. Vyšlo číslo mezi 0 a 1? Vyšlo víc než 1 → chyba, pravděpodobnost nad jedničku neexistuje.

Převody zápisu: 1/2 = 0,5 = 50 %. Zlomek → desetinné číslo: vyděl. Desetinné → procenta: krát 100.

Opačný jev: pravděpodobnost, že se něco NEstane = 1 minus pravděpodobnost, že se to stane. Šestka: 1/6. Ne-šestka: 1 − 1/6 = 5/6. Občas je jednodušší spočítat opak.

Co pravděpodobnost neříká: 1/6 neznamená, že v šesti hodech padne šestka přesně jednou. Znamená, že při tisících hodů jich bude zhruba šestina. Krátkodobě si náhoda dělá, co chce — dlouhodobě poslouchá čísla.

Příklad 1: kuličky v sáčku

Zadání: V sáčku je 5 červených a 3 modré kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že naslepo vytáhneš modrou?

Postup: Všechny možnosti: 5 + 3 = 8 kuliček.

Příznivé: 3 modré.

P = 3/8.

Kontrola: 3/8 = 0,375, je mezi 0 a 1. Sedí. A opak: červená má 5/8 — dohromady 3/8 + 5/8 = 8/8 = 1. Něco vytáhnu jistě.

Odpověď: Pravděpodobnost modré je 3/8 (asi 37,5 %).

Příklad 2: kostka a podmínky

Zadání: Hodíš kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne a) číslo větší než 4, b) liché číslo, c) číslo menší než 7?

Postup: Všech možností je vždy 6.

a) Větší než 4: pětka a šestka, tedy 2 příznivé. P = 2/6 = 1/3.

b) Lichá: 1, 3, 5, tedy 3 příznivé. P = 3/6 = 1/2.

c) Menší než 7: všech šest čísel. P = 6/6 = 1 — jistota.

Odpověď: a) 1/3, b) 1/2, c) 1. Jistý jev má pravděpodobnost přesně 1.

Příklad 3: je hra férová?

Zadání: Kolo štěstí má 10 stejných polí: 4 modrá, 3 zelená, 2 žlutá, 1 červené. Vyhráváš na červené. Kamarád tvrdí: „Máš šanci 1 ku 4, jsou přece 4 barvy.“ Má pravdu?

Postup: Možnosti nejsou barvy, ale POLE — těch je 10 a všechna jsou stejně velká.

Příznivé: 1 červené pole.

P = 1/10, tedy 10 %. Ne 1/4 = 25 %.

Odpověď: Nemá pravdu. Barvy nejsou stejně pravděpodobné, protože nemají stejně polí. Počítat se musí možnosti, které jsou si rovné — tady pole, ne barvy. Tohle je nejčastější podvod v myšlení o náhodě.

⚠️

Kostka nemá paměť. Po třech hodech bez šestky není šestka „na spadnutí“ — pořád má 1/6, jako by se házelo poprvé. Minulé hody budoucí neovlivní. Kdo věří opaku, prohrává v loteriích a hrách o peníze. Náhoda nezná slovo „už musí“.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Kuličky ze sáčku: příznivé děleno všemi. Odpověz zlomkem ve tvaru a/b.

Procvičit příklady

Na papír

Kostky, karty a jedno vlastní kolo štěstí. U každé úlohy piš všechny/příznivé/zlomek.

Hod kostkou: spočítej pravděpodobnost pro sudé číslo, pro číslo dělitelné třemi a pro číslo menší než 3. Každou zapiš zlomkem i v procentech.
V penálu je 6 modrých, 3 černé a 1 zelená propiska. Vytáhneš jednu naslepo. Jaká je pravděpodobnost černé? A jaká, že NEvytáhneš zelenou? (Zkus přes opačný jev.)
Navrhni kolo štěstí s 12 poli tak, aby výhra měla pravděpodobnost přesně 1/4. Kolik polí je výherních?
Sáček: 4 červené a 6 modrých kuliček. Kamarád tvrdí, že šance na červenou je 4/6. Najdi chybu a oprav ji.

Teď ty 💪

Počítáš vždy nejdřív všechny možnosti, pak příznivé, pak zlomek.
Výsledek kontroluješ: musí být mezi 0 a 1.
Umíš použít opačný jev (1 minus P) a vysvětlit, proč kostka nemá paměť.

✅

Hotovo, když: Máš spočítané pravděpodobnosti na kostce i kuličkách, navržené férové kolo štěstí a opravenou chybu 4/6 (správně 4/10 = 2/5).

Co si z téhle lekce odnést

Pravděpodobnost = příznivé možnosti / všechny možnosti.
Vždy mezi 0 (nemožné) a 1 (jisté).
Možnosti musí být stejně pravděpodobné — počítej pole, ne barvy.
Opačný jev: P(nestane se) = 1 − P(stane se).
Náhoda nemá paměť. Minulé hody nemění ty budoucí.