Dosazovací metoda · Programuj s Martinem

Vyjádři a dosaď

Minule jsi soustavy louskal(a) úvahou. To funguje u hezkých čísel, ale potřebuješ metodu, která zvládne cokoliv. První se jmenuje dosazovací.

Nápad je prostý: dvě neznámé jsou moc, tak jednu vyjádřím pomocí druhé a tím ji zruším.

Když první rovnice říká y = x + 1, vím o y všechno — je to prostě „x plus jedna“. Tak to místo y dosadím do druhé rovnice. Najednou je v ní jen x. A rovnici s jednou neznámou už řešit umíš.

Pak se vrátíš: spočítané x dosadíš do y = x + 1 a máš i y. Dvě neznámé, dva kroky.

Dosazovací metoda je nejlepší, když už je jedna neznámá vyjádřená — když někde vidíš „y = něco“ nebo to jde udělat jedním tahem. Na přijímačkách je to nejčastěji používaná metoda. Pojď si ji vycvičit.

Sofie řeší soustavu y = x + 2 a x + y = 10. Zírá na ni a pak se rozesměje: „Počkat, vždyť první rovnice mi rovnou říká, co je y! Tak to tam prostě napíšu.“ Přepíše druhou rovnici: x + (x + 2) = 10. „Teď je to obyčejná rovnice. 2x + 2 = 10, takže x = 4. A y je x plus dva, tedy 6.“ Filip kouká přes rameno: „To je celé? Žádné kouzlo?“ Žádné kouzlo. Jen výměna písmenka za to, čemu se rovná.

💡

Dosazovaný výraz vždycky zabal do závorky: místo y napiš (x + 2). Závorka tě ochrání, když se před y objeví násobení nebo minus.

Dosazovací metoda ve čtyřech krocích

Ukážu na soustavě: 2x + y = 11 a y = x + 2.

Krok 1: Vyber rovnici, kde jde neznámá snadno vyjádřit. Tady je hotovo — druhá rovnice říká y = x + 2. Kdyby nebyla, vyjádříš sám (sama): z x + y = 7 uděláš y = 7 − x jedním přesunem.

Krok 2: Dosaď do druhé rovnice. Do 2x + y = 11 vložím místo y závorku (x + 2): 2x + (x + 2) = 11.

Krok 3: Vyřeš rovnici s jednou neznámou. 2x + x + 2 = 11, tedy 3x + 2 = 11, tedy 3x = 9, takže x = 3.

Krok 4: Dopočítej druhou neznámou. Dosadím x = 3 do y = x + 2: y = 5.

Zkouška (v obou rovnicích, jak jinak): 2 · 3 + 5 = 11 — sedí. 5 = 3 + 2 — sedí.

Odpověď: x = 3, y = 5, tedy [3; 5].

Celá metoda stojí na jednom pohybu: písmenko nahradíš výrazem, kterému se rovná. Nic víc v ní není.

Příklad 1: y je vyjádřené rovnou

Zadání: Vyřeš soustavu x + y = 9 a y = 2x.

Postup: Druhá rovnice říká, že y je dvojnásobek x. Dosadím do první: x + 2x = 9.

Sečtu: 3x = 9, takže x = 3.

Dopočítám y: y = 2 · 3 = 6.

Zkouška: 3 + 6 = 9 — sedí. 6 = 2 · 3 — sedí.

Odpověď: [3; 6].

Příklad 2: nejdřív vyjádřit, pak dosadit

Zadání: Vyřeš soustavu x + y = 8 a 3x + 2y = 19.

Postup: Z první rovnice vyjádřím y: y = 8 − x.

Dosadím do druhé, se závorkou: 3x + 2 · (8 − x) = 19.

Roznásobím: 3x + 16 − 2x = 19. Sloučím: x + 16 = 19, takže x = 3.

Dopočítám: y = 8 − 3 = 5.

Zkouška: 3 + 5 = 8 — sedí. 3 · 3 + 2 · 5 = 9 + 10 = 19 — sedí.

Odpověď: [3; 5].

Příklad 3: proč je závorka nutná

Zadání: Vyřeš soustavu y = x − 1 a 10 − 2y = 3x.

Postup: Dosadím y do druhé rovnice. Před y stojí „minus dva krát“, takže závorka je životně důležitá: 10 − 2 · (x − 1) = 3x.

Roznásobím včetně znaménka: 10 − 2x + 2 = 3x. Minus dva krát minus jedna je plus dva.

Sloučím: 12 − 2x = 3x, tedy 12 = 5x, takže x = 2,4.

Dopočítám: y = 2,4 − 1 = 1,4.

Zkouška: 10 − 2 · 1,4 = 10 − 2,8 = 7,2 a 3 · 2,4 = 7,2 — sedí.

Odpověď: [2,4; 1,4]. Bez závorky by vyšlo úplně jiné číslo.

⚠️

Dosazení bez závorky je chybová klasika. Když do 10 − 2y dosadíš y = x − 1 jako 10 − 2x − 1, ztratil(a) jsi znaménko: správně je 10 − 2 · (x − 1) = 10 − 2x + 2. Minus před závorkou mění znaménka všeho uvnitř. Závorku piš vždycky, i když se ti zdá zbytečná — nic nepokazí a chybu nepustí.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Trénuj soustavy. Klidně je řeš dosazením — z druhé rovnice vyjádři x a vlož do první. Odpověz hodnotou x.

Procvičit příklady

Na papír

Tři soustavy dosazovací metodou. Pokaždé: vyjádřit, dosadit se závorkou, vyřešit, dopočítat, zkouška.

Vyřeš soustavu y = x + 3 a x + y = 11. Výsledek ověř v obou rovnicích.
Vyřeš soustavu x + y = 10 a 2x + y = 14. Nejdřív vyjádři y z první rovnice.
Vyřeš soustavu y = 2x a 3x − y = 4.
U jedné soustavy schválně zkus dosadit bez závorky a porovnej, co vyjde. Uvidíš, proč se závorka píše.

Teď ty 💪

Umíš z rovnice x + y = 7 vyjádřit y jedním přesunem.
Dosazuješ se závorkou a při roznásobování hlídáš znaménka.
Každá soustava má zkoušku v obou rovnicích.

✅

Hotovo, když: Máš tři soustavy vyřešené dosazovací metodou, všechny zkoušky sedí a víš, k čemu je závorka při dosazení.

Co si z téhle lekce odnést

Dosazovací metoda: vyjádři jednu neznámou a dosaď ji do druhé rovnice.
Dosazený výraz vždycky do závorky.
Po vyřešení x nezapomeň dopočítat y — odpověď je dvojice.
Metoda se hodí, když je jedna neznámá už vyjádřená nebo to jde jedním tahem.
Zkouška v obou rovnicích uzavírá každý příklad.