Hranoly: povrch a objem · Programuj z Marcinym

Hranol je podstava vytažená do výšky. Objem = podstava krát výška, povrch = dvě podstavy plus plášť.

Vytáhni tvar do výšky a máš těleso

Zatím jsme počítali placaté tvary. Dnes jim dáme třetí rozměr. Hranol vznikne, když rovinný tvar — podstavu — vytáhneš kolmo do výšky. Trojúhelníková podstava dá trojboký hranol (tvar stanu nebo Toblerone), čtyřúhelníková kvádr, šestiúhelníková tužku.

Dvě otázky, které se u těles pořád vracejí:

Kolik se do něj vejde? To je objem V. Počítá se krásně: V = obsah podstavy × výška. Vrstvička podstavy vysoká 1 cm, a takových vrstviček je tolik, kolik měří výška.

Kolik materiálu je na jeho stěny? To je povrch S: S = 2 × podstava + plášť. Plášť jsou boční stěny — když hranol rozbalíš, plášť je jeden obdélník široký jako obvod podstavy a vysoký jako hranol.

Vidíš, proč jsme trénovali obsahy? Podstava je trojúhelník, obdélník nebo lichoběžník — a ty už všechny umíš.

Ema s Jonášem vyrábějí na jarmark stojánky ve tvaru trojbokého hranolu. Podstava: pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 6 a 8 cm, délka hranolu 12 cm. Jonáš řeže a Ema počítá kartón: „Dvě trojúhelníkové podstavy: 2 × 24 = 48 cm². Plášť: obvod podstavy je 6 + 8 + 10 = 24 cm, krát délka 12… 288 cm². Celkem 336 cm² na kus.“ Jonáš zvedne obočí: „A do krabice 20 × 30 cm se vejde rozložený?“ Ema kreslí síť tělesa na papír. „Vejde. Ale jen když plášť rozdělíme.“

💡

Nakresli si síť tělesa — hranol rozbalený do plochy. Povrch pak není vzorec k zapamatování, ale obrázek k sečtení: dvě podstavy a pás pláště.

Objem a povrch krok za krokem

Objem: V = Sp × v (obsah podstavy krát výška tělesa).

Krok 1: urči, co je podstava. U hranolu jsou to ty dvě shodné rovnoběžné stěny — hranol na obrázku klidně „leží na boku“ a podstavy má po stranách. Krok 2: spočítej obsah podstavy vzorcem pro její tvar. Krok 3: vynásob výškou hranolu (vzdáleností podstav).

Jednotky: cm² krát cm = cm³, krychlové centimetry. Do 1 cm³ se vejde 1 ml vody — objemy a litry jsou příbuzní: 1 litr = 1 000 cm³ = 1 dm³.

Povrch: S = 2 × Sp + plášť.

Krok 1: obsah podstavy (už ho máš z objemu). Krok 2: plášť = obvod podstavy × výška hranolu. Rozbalený plášť je obdélník — proto. Krok 3: sečti: dvě podstavy + plášť. Jednotky cm².

Kvádr jako speciální případ: podstava obdélník a × b, výška c. Objem V = a × b × c, povrch S = 2 × (ab + bc + ac). Vzorce, co možná znáš — teď víš, odkud jsou.

Postřeh na závěr: objem roste s třetí mocninou — krabice s dvojnásobnými hranami pojme 8× víc. Proto velké balení bývá výhodnější na materiál.

Kvádr akvária 40 × 25 × 30 cm: objem v litrech

Krok 1: podstava je obdélník 40 × 25 cm: Sp = 1 000 cm².

Krok 2: objem: V = 1 000 × 30 = 30 000 cm³.

Krok 3: převod na litry: 1 000 cm³ = 1 litr, takže 30 000 cm³ = 30 litrů.

Výsledek: 30 litrů. Kontrola odhadem: kbelík má 10 litrů — akvárium vypadá na tři kbelíky, sedí. Převod cm³ → litry je škrtnutí tří nul; budeš ho potřebovat u každé nádrže a bazénu.

Stan — trojboký hranol: podstava se základnou 2 m a výškou 1,5 m, délka 3 m

Podstavou je trojúhelníkový štít stanu, „výškou hranolu“ jeho délka.

Krok 1: obsah podstavy: Sp = (2 × 1,5) : 2 = 1,5 m².

Krok 2: objem: V = 1,5 × 3 = 4,5 m³.

Výsledek: 4,5 m³ vzduchu. Hranol klidně leží — podstavy jsou vepředu a vzadu, ne dole. Poznávací znamení podstav: dvě shodné stěny, mezi nimiž je všude stejná vzdálenost.

Povrch trojbokého hranolu ze scény: odvěsny 6 a 8, přepona 10, délka 12 cm

Krok 1: podstava — pravoúhlý trojúhelník: Sp = (6 × 8) : 2 = 24 cm².

Krok 2: obvod podstavy: 6 + 8 + 10 = 24 cm.

Krok 3: plášť: 24 × 12 = 288 cm².

Krok 4: povrch: S = 2 × 24 + 288 = 48 + 288 = 336 cm².

Výsledek: 336 cm². Všimni si dělby práce: obvod podstavy živí plášť, obsah podstavy živí objem (V = 24 × 12 = 288 cm³). Kdo si obvod a obsah splete, splete obě odpovědi.

⚠️

Objem je v cm³, povrch v cm². Když ti u „povrchu“ vyjdou krychlové jednotky, násobil(a) jsi tři délky — spočítal(a) jsi objem. Jednotky jsou nejrychlejší kontrola, že počítáš tu veličinu, na kterou se úloha ptá.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si obsah obdélníkové podstavy — na ní stojí objem kvádru. Piš jen číslo v cm².

Procvičit příklady

Na papír: krabice a stany

U každé úlohy nejdřív napiš, co je podstava a jaký má tvar. Pak teprve vzorce.

Kvádr 15 × 10 × 8 cm: vypočítej objem i povrch. Hlídej jednotky (cm³ vs. cm²).
Trojboký hranol: podstava je trojúhelník se základnou 10 cm a výškou 6 cm, výška hranolu 20 cm. Objem?
Bazének tvaru kvádru 3 m × 2 m × 0,5 m: kolik litrů vody pojme? (1 m³ = 1 000 litrů.)
Nakresli síť kvádru 6 × 4 × 3 cm, popiš rozměry všech šesti stěn a povrch spočítej součtem ploch sítě. Ověř vzorcem.

Teď ty 💪

Umím V = obsah podstavy × výška a vím, proč to platí (vrstvení podstavy).
Povrch skládám ze dvou podstav a pláště (obvod podstavy × výška).
Převedu cm³ na litry a m³ na litry.

✅

Hotovo, když: Kvádr má objem 1 200 cm³ a povrch 700 cm², stan-hranol 600 cm³, bazének 3 000 litrů a síť sedí se vzorcem.

Co si z téhle lekce odnést

Hranol = podstava vytažená kolmo do výšky.
Objem: V = Sp × v, jednotky krychlové (cm³).
Povrch: S = 2 podstavy + plášť; plášť = obvod podstavy × výška.
Litr = 1 000 cm³ = 1 dm³.
Jednotky prozradí, jestli počítáš objem, nebo povrch.