Přímá úměrnost

Dvakrát víc kusů, dvakrát víc korun

Rohlík stojí 4 Kč. Dva rohlíky 8 Kč. Pět rohlíků 20 Kč. Vidíš to pravidlo? Kolikrát víc kusů, tolikrát víc korun. Tomu se říká přímá úměrnost.

Dvě veličiny jsou přímo úměrné, když růst jedné táhne stejným tempem růst druhé. Zdvojnásobíš jednu, zdvojnásobí se druhá. Ztrojnásobíš — ztrojnásobí se.

Poznávací znamení: podíl obou veličin je pořád stejný. Cena děleno počtem rohlíků je vždy 4. Tomu stálému číslu se říká konstanta úměrnosti — tady je to cena jednoho rohlíku.

Pozor, ne všechno na světě je přímo úměrné! Výška člověka není přímo úměrná věku (ve 30 letech neměříš 3 metry). Dnes se naučíš přímou úměrnost poznat, zapsat tabulkou a použít trik „přes jedničku“: nejdřív zjisti hodnotu pro jeden kus, pak násob.

Jonáš se Sofií kupují školní sešity. Cedule: 3 sešity za 54 Kč. Jonáš potřebuje 7 sešitů a zkouší to od oka: „Tak sto korun?“ Sofie jde přes jedničku: „Jeden sešit: 54 : 3 = 18 Kč. Sedm sešitů: 7 × 18 = 126 Kč.“ Jonáš hvízdne: „O 26 korun vedle.“ Cestou domů zkouší Sofii nachytat: „A kdyby 10 sešitů?“ — „180.“ — „A 100?“ — „1 800. Dokud je cena za kus stejná, jen násobíš. To je celá přímá úměrnost.“

Jak přímou úměrnost poznat a použít

Test přímé úměrnosti: zeptej se „když jedno zdvojnásobím, zdvojnásobí se druhé?“ Rohlíky a cena: ano. Věk a výška: ne. Čas jízdy stálou rychlostí a ujetá vzdálenost: ano.

Tabulka. Přímou úměrnost přehledně zapíše tabulka dvojic:

kusy: 1, 2, 3, 5, 10 — cena: 4, 8, 12, 20, 40.

V tabulce platí: podíl (cena : kusy) je v každém sloupci stejný — tady 4. To je konstanta úměrnosti. Zapsáno vzorcem: cena = 4 × kusy. Obecně y = k · x.

Výpočet přes jedničku:

Krok 1: ze zadané dvojice spočítej hodnotu pro jedničku (děleno). Krok 2: vynásob požadovaným počtem.

Tři kila jablek stojí 87 Kč, chci 5 kg: jedno kilo 87 : 3 = 29 Kč, pět kilo 5 × 29 = 145 Kč.

Graf přímé úměrnosti (potkáš ho v učebnici) je přímka procházející nulou: nula kusů, nula korun. Když cena „skáče“ nebo začíná jinde než v nule (třeba kvůli dopravnému), přímá úměrnost to není.

Šest litrů benzinu stojí 216 Kč. Kolik stojí 10 litrů?

Krok 1 — přes jedničku: jeden litr stojí 216 : 6 = 36 Kč.

Krok 2: deset litrů: 10 × 36 = 360 Kč.

Výsledek: 360 Kč. Test úměrnosti: dvakrát víc benzinu = dvakrát víc peněz? Ano, cena za litr se s množstvím nemění. Kontrola odhadem: 10 litrů je skoro dvojnásobek šesti, cena má být skoro dvojnásobná — 216 × 2 = 432, výsledek o kus menší. Sedí.

Doplň tabulku přímé úměrnosti

Zadání: 4 vstupenky stojí 480 Kč. Doplň cenu pro 1, 3, 7 a 11 vstupenek.

Krok 1: konstanta (cena za kus): 480 : 4 = 120 Kč.

Krok 2: násobím — 1 ks: 120 Kč, 3 ks: 360 Kč, 7 ks: 840 Kč, 11 ks: 1 320 Kč.

Kontrola: podíl cena : kusy je všude 120. Sedí.

Tabulka je hotová jedním dělením a čtyřmi násobeními. Konstanta úměrnosti je klíč, který otevírá celý řádek.

Je to přímá úměrnost? Tři situace

a) Počet stejných čokolád a celková cena. Dvakrát víc čokolád = dvakrát vyšší cena. Ano.

b) Věk psa a jeho hmotnost. Dvouletý pes neváží dvakrát víc než roční. Ne — roste nerovnoměrně a pak přestane.

c) Počet stránek přečtených stálým tempem a čas čtení. Dvakrát víc stránek = dvakrát víc času. Ano.

Poučení: úměrnost není vlastnost čísel, ale vztahu. Vždycky si polož test zdvojnásobení, než začneš násobit.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Počítej přes jedničku: cena za kus, pak násob. Piš jen výslednou částku.

Procvičit příklady

Na papír: tabulky a testy

U každé úlohy napiš konstantu úměrnosti — číslo, které patří k jedničce.

1. Pět kopií stojí 35 Kč. Sestav tabulku pro 1, 2, 8 a 12 kopií.

2. Auto ujede za 2 hodiny 170 km stálou rychlostí. Jak daleko dojede za 5 hodin? Jaká je konstanta úměrnosti a co znamená?

3. Rozhodni s testem zdvojnásobení: je přímo úměrné a) množství mouky a počet buchet podle receptu, b) počet kopáčů a čas na výkop, c) strana čtverce a jeho obvod?

4. Vymysli vlastní příklad přímé úměrnosti ze svého dne a zapiš k němu tabulku se čtyřmi dvojicemi.

Teď ty 💪

1. Umím test: zdvojnásobím jedno — zdvojnásobí se druhé?
2. Najdu konstantu úměrnosti a vím, co v úloze znamená.
3. Počítám přes jedničku: děleno na jednotku, krát na požadovaný počet.

Co si z téhle lekce odnést

• Přímá úměrnost: kolikrát víc jednoho, tolikrát víc druhého.
• Podíl veličin je stálý — konstanta úměrnosti (hodnota pro jedničku).
• Trik přes jedničku: děleno, pak krát.
• Test zdvojnásobení odhalí falešné úměrnosti (slevy, balíčky).
• Graf přímé úměrnosti je přímka z nuly.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Warunki użytkowania treści