Podobnost útvarů · Programuj z Marcinym

Stejný tvar, jiná velikost

Fotka na mobilu a ta samá fotka na plakátu. Plánek bytu a skutečný byt. Model auta a opravdové auto. Pokaždé stejný tvar, jiná velikost. Matematika tomu říká podobnost.

Dva útvary jsou podobné, když jeden vznikne z druhého rovnoměrným zvětšením nebo zmenšením. Rovnoměrným — to je klíčové slovo. Všechny délky se násobí stejným číslem.

Tomu číslu se říká koeficient podobnosti a značí se k. Když k = 3, každá strana velkého útvaru je třikrát delší než odpovídající strana malého. Když k = 0,5, všechno se zmenšilo na polovinu.

A co úhly? Úhly se nemění vůbec. Zvětšená fotka nemá šikmější rohy. Proto podobné útvary vypadají „stejně“, i když jeden se vejde do dlaně a druhý na billboard.

Dneska se naučíš koeficient najít, použít ho na výpočet stran a odhalit, kdy útvary podobné nejsou.

Sofie tiskne školní logo na dvě věci: na vizitku a na tričko. Na vizitce je logo široké 4 cm a vysoké 3 cm. Na tričko ho chce široké 20 cm. „Jak vysoké ho mám zadat?“ přemýšlí. Jonáš počítá: „Šířka narostla z 4 na 20 — to je pětkrát. Tak výška musí taky pětkrát: 3 krát 5 je 15 cm.“ Sofie zadá 20 × 15 a logo je jako živé. „Kdybych výšku jen tipla, vyleze placka nebo nudle. Koeficient hlídá tvar.“

💡

Koeficient najdeš vždycky stejně: k = strana velkého / odpovídající strana malého. Dej pozor, ať dělíš odpovídající si strany — nejdelší s nejdelší, nejkratší s nejkratší.

Koeficient podobnosti krok za krokem

Krok 1: Spáruj odpovídající strany. V podobných útvarech si strany odpovídají podle pozice: nejdelší patří k nejdelší, nejkratší k nejkratší.

Krok 2: Vypočítej koeficient. k = délka strany velkého / délka odpovídající strany malého. Trojúhelníky se stranami 2, 3, 4 a 6, 9, 12: k = 6/2 = 3. Kontrola na dalších stranách: 9/3 = 3 a 12/4 = 3. Všude stejné číslo — jsou podobné.

Krok 3: Použij koeficient na neznámou stranu. Strana velkého = strana malého · k. Strana malého = strana velkého / k. Nic víc.

Kdy podobnost NENÍ: trojúhelníky 2, 3, 4 a 4, 6, 10. Podíly: 4/2 = 2, 6/3 = 2, ale 10/4 = 2,5. Jedno číslo uhýbá — nejsou podobné. Poslední strana se natáhla víc než ostatní a tvar se pokřivil.

Pozor na obsah! Když k = 3, strany jsou třikrát delší, ale obsah je devětkrát větší (3² = 9). Zvětšení roste v obou směrech najednou — do šířky i do výšky. Fotka zvětšená třikrát potřebuje devětkrát víc papíru. Tohle je oblíbený chyták, tak si ho zapiš tučně.

Příklad 1: jsou podobné?

Zadání: Trojúhelník A má strany 3, 5, 6 cm. Trojúhelník B má strany 9, 15, 18 cm. Jsou podobné?

Postup: Spáruju strany podle velikosti a dělím: 9/3 = 3, 15/5 = 3, 18/6 = 3.

Všechny podíly jsou stejné.

Odpověď: Ano, jsou podobné s koeficientem k = 3. Každá strana trojúhelníku B je trojnásobek odpovídající strany A. Kdyby jediný podíl vyšel jinak, odpověď by byla ne — kontrolují se všechny strany, ne jen jedna.

Příklad 2: dopočítej stranu

Zadání: Obdélníkový plakát je podobný pohlednici s k = 4. Pohlednice má rozměry 10 × 15 cm. Jaké rozměry má plakát? A kolikrát víc papíru spotřebuje?

Postup: Strany násobím koeficientem: 10 · 4 = 40 cm a 15 · 4 = 60 cm.

Obsahy: pohlednice 10 · 15 = 150 cm², plakát 40 · 60 = 2400 cm².

Podíl obsahů: 2400/150 = 16. A 16 = 4².

Odpověď: Plakát má 40 × 60 cm a spotřebuje šestnáctkrát víc papíru — obsah roste s druhou mocninou koeficientu.

Příklad 3: zmenšování, k menší než 1

Zadání: Hřiště má rozměry 40 × 20 m. Do plánku ho kreslíš zmenšené s koeficientem k = 0,01 (tedy stokrát menší). Jaké rozměry bude mít na plánku?

Postup: Násobím koeficientem: 40 · 0,01 = 0,4 m = 40 cm. A 20 · 0,01 = 0,2 m = 20 cm.

Odpověď: Na plánku bude hřiště 40 × 20 cm.

Koeficient menší než 1 znamená zmenšení — je to totéž co měřítko mapy 1 : 100. Podobnost a měřítko jsou jedna a ta samá myšlenka ve dvou kabátech.

⚠️

Obsah neroste s k, ale s k². Trojnásobné strany = devítinásobný obsah. Klasická přijímačková past zní: „strany se zvětšily třikrát, kolikrát se zvětšil obsah?“ Kdo odpoví třikrát, ztrácí bod. Délky násob k, obsahy k², objemy dokonce k³.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Trénink na koeficient: strana malého krát k = strana velkého. Piš celé číslo.

Procvičit příklady

Na papír

Koeficienty, dopočty stran a jedna past na obsah.

Trojúhelníky 4, 6, 8 cm a 10, 15, 20 cm: ověř podobnost všemi třemi podíly a napiš k.
Fotka 9 × 13 cm se zvětšuje s k = 3. Jaké budou rozměry? A kolikrát se zvětší obsah? Spočítej oba obsahy a ověř, že podíl je k².
Obdélníky 6 × 10 cm a 9 × 16 cm: jsou podobné? Rozhodni podíly a zdůvodni.
Plán bytu má měřítko 1 : 50. Pokoj je na plánu 8 cm dlouhý. Jak je dlouhý doopravdy? (Měřítko = koeficient.)

Teď ty 💪

Koeficient počítáš podílem odpovídajících stran a kontroluješ ho na všech stranách.
Umíš stranu dopočítat oběma směry: krát k při zvětšení, děleno k při zmenšení.
Víš, že obsah roste s k², a umíš to ukázat na konkrétních číslech.

✅

Hotovo, když: Máš ověřenou podobnost přes všechny podíly, dopočítané strany, odhalený nepodobný pár a spočítaný obsahový skok k².

Co si z téhle lekce odnést

Podobné útvary mají stejný tvar: úhly stejné, délky násobené koeficientem k.
k = strana velkého / odpovídající strana malého. Kontroluj na všech stranách.
k větší než 1 zvětšuje, k menší než 1 zmenšuje. Měřítko mapy je taky k.
Obsah roste s k², objem s k³ — ne s k.
Jeden uhýbající podíl = útvary podobné nejsou.