Nepřímá úměrnost · Koda med Martin

Čím víc malířů, tím méně hodin. Druhý druh úměrnosti, kde se násobí do kříže.

Čím víc rukou, tím míň hodin

Dva malíři natřou plot za 6 hodin. Kolik času potřebují čtyři malíři? Ne 12 hodin — 3 hodiny. Víc rukou, méně času.

Tohle je nepřímá úměrnost: když jedna veličina vzroste několikrát, druhá stejněkrát klesne. Dvakrát víc malířů, dvakrát méně času.

Poznávací znamení je opačné než minule: u přímé úměrnosti byl stálý podíl, u nepřímé je stálý součin. Malíři krát hodiny: 2 × 6 = 12. A taky 4 × 3 = 12. I 1 × 12 = 12. To stálé číslo je celková práce — dvanáct „malířohodin“, které plot prostě potřebuje.

Nepřímou úměrnost potkáš u rychlosti a času (rychleji jedeš, dřív jsi tam), u dělení zásob (víc lidí, menší porce) a u obdélníků se stejným obsahem. Dnes ji naučíš poznat a počítat přes stálý součin.

Ema s Adamem chystají 60 chlebíčků na školní akci. „Sám bych to dělal 3 hodiny,“ povzdechne si Adam. Ema: „Ve dvou hodinu a půl… ne, počkej.“ Zarazí se a počítá: jeden člověk 3 hodiny, to je součin 1 × 180 minut. Dva lidé: 180 : 2 = 90 minut. „Hodinu a půl, dobře jsem tipla.“ Pak přijde Tereza: „Ve třech?“ — 180 : 3 = 60 minut. Adam se směje: „Pozveme celou třídu a máme hotovo za pět minut.“ Ema: „Až na to, že se u jedný misky vystřídá tak pět lidí, víc se nevejde.“

💡

Rozhodni před počítáním: víc znamená míň, nebo víc znamená víc? Věta „víc malířů → méně hodin“ = nepřímá úměrnost = stálý součin.

Stálý součin a počítání do kříže

Test nepřímé úměrnosti: zdvojnásobím jedno — druhé klesne na polovinu? Rychlost a čas cesty: ano. Počet dělníků a čas práce: ano (pokud si nepřekážejí). Počet sešitů a cena: ne, to je přímá.

Postup přes stálý součin:

Krok 1: vynásob zadanou dvojici → dostaneš stálý součin. Krok 2: vyděl součin novou hodnotou → dostaneš druhou veličinu.

Příklad: 3 čerpadla vyprázdní bazén za 8 hodin. Kolik času potřebuje 6 čerpadel? Součin: 3 × 8 = 24. Nová hodnota: 24 : 6 = 4 hodiny.

Tabulka nepřímé úměrnosti: čerpadla 1, 2, 3, 4, 6 — hodiny 24, 12, 8, 6, 4. Součin v každém sloupci 24. Když jedna veličina roste, druhá klesá, ale součin stojí.

Slovní kontrola má vždycky přednost: víc čerpadel musí dát méně hodin. Když ti vyjde víc, použil(a) jsi omylem přímou úměrnost.

Hranice modelu: matematika předpokládá, že všichni pracují stejně a nepřekážejí si. Sto malířů jeden plot nenatře stokrát rychleji — nevejdou se k němu. Úloha platí v rozumných mezích.

Auto jede průměrně 60 km/h a cesta trvá 2 hodiny. Jak dlouho potrvá při 80 km/h?

Test: rychleji pojedu → dřív tam budu. Víc znamená míň → nepřímá úměrnost.

Krok 1: stálý součin = rychlost × čas = 60 × 2 = 120. (To je vzdálenost: 120 km.)

Krok 2: nový čas: 120 : 80 = 1,5 hodiny.

Výsledek: 1,5 hodiny, tedy 90 minut. Kontrola: vyšší rychlost dala kratší čas. Sedí. Stálý součin tady má jasný význam — délka cesty se nemění, ať jedeš jakkoli.

Zásoby pro 12 táborníků vydrží 10 dní. Jak dlouho vydrží pro 8?

Test: méně jedlíků → jídlo vydrží déle. Nepřímá úměrnost.

Krok 1: součin: 12 × 10 = 120 (osobodní — jídlo pro jednoho na 120 dní).

Krok 2: pro 8 táborníků: 120 : 8 = 15 dní.

Výsledek: 15 dní. Kontrola: méně lidí, delší doba. Sedí. Všimni si směru — kdyby táborníků přibylo na 15, vydrží zásoby 120 : 15 = 8 dní. Součin 120 zůstává, jen se přerozděluje.

Obdélníkový záhon má mít obsah 36 m². Doplň rozměry.

Obsah obdélníku = délka × šířka. Stálý součin 36 — to je nepřímá úměrnost mezi stranami.

Možnosti: šířka 2 m → délka 36 : 2 = 18 m. Šířka 3 m → 12 m. Šířka 4 m → 9 m. Šířka 6 m → 6 m (čtverec).

Všechny záhony mají stejný obsah, ale jiný tvar. Čím širší, tím kratší — stálý součin v akci. Geometrie a úměrnosti jsou jedna rodina; vrátíme se k tomu u obsahů za pár lekcí.

⚠️

Nepoužívej postup přes jedničku bez přemýšlení. U nepřímé úměrnosti se přes jedničku jde obráceně: jeden malíř maluje déle, ne kratší dobu. Nejdřív rozhodni druh úměrnosti větou „víc znamená…“, teprve pak počítej.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Počítej přes stálý součin: vynásob zadanou dvojici, pak vyděl. Piš jen číslo.

Procvičit příklady

Na papír: víc znamená míň

U každé úlohy nejdřív napiš větu „víc … znamená míň …“ a stálý součin.

Pět strojů zvládne zakázku za 12 dní. Za kolik dní ji zvládnou 4 stroje? A 10 strojů?
Cyklista jede na výlet 24 km. Sestav tabulku času pro rychlosti 8, 12, 16 a 24 km/h.
Kmotr rozdává 120 bonbónů rovným dílem. Kolik dostane každý, když přijde 6, 8, 10 nebo 15 dětí?
Rozhodni druh úměrnosti a vyřeš: 3 kg brambor stojí 66 Kč, kolik stojí 5 kg? (Pozor — je tohle vůbec nepřímá?)

Teď ty 💪

Rozhodnu druh úměrnosti větou: víc znamená víc (přímá), nebo víc znamená míň (nepřímá)?
U nepřímé úměrnosti počítám přes stálý součin.
Výsledek kontroluji směrem: víc strojů musí dát méně dní.

✅

Hotovo, když: Všechny úlohy mají větu o směru a stálý součin; u brambor jsi odhalil(a), že jde o přímou úměrnost, a spočítal(a) 110 Kč.

Co si z téhle lekce odnést

Nepřímá úměrnost: kolikrát jedno vzroste, tolikrát druhé klesne.
Poznávací znamení: stálý součin obou veličin.
Postup: vynásob zadanou dvojici, vyděl novou hodnotou.
Věta „víc znamená míň“ rozhoduje dřív než čísla.
Model platí v rozumných mezích — sto malířů se k plotu nevejde.