Racionální čísla · Koda med Martin

Celá čísla, zlomky i desetinná čísla patří do jedné rodiny. Naučíš se je srovnat na číselné ose.

Všechna čísla, co znáš, patří do jedné rodiny

Znáš celá čísla: 3, 0, −7. Znáš zlomky: 1/2, 3/4. Znáš desetinná čísla: 0,5 nebo −2,25. Vypadají jako tři různé světy. Nejsou.

Všechna dohromady se jmenují racionální čísla. Racionální číslo je každé číslo, které jde zapsat jako zlomek. Číslo 3 je zlomek 3/1. Číslo 0,5 je zlomek 1/2. I záporné −2 je zlomek −2/1.

To je celý trik. Když umíš číslo přepsat na zlomek, je racionální. A protože to umí skoro každé číslo, se kterým v sedmičce potkáš, budeš celý rok pracovat právě s nimi.

Proč to řešit? Protože racionální čísla se dají porovnávat a řadit na číselnou osu. A kdo umí číslo najít na ose, ten se nesplete ve znaménku, ve slevě ani v teplotě. Dnes si tu osu srovnáme v hlavě.

Ema a Adam koukají na displej venkovního teploměru: −2,5 °C. Adam tvrdí: „−3 je víc než −2,5, trojka je přece větší než dvojka.“ Ema kreslí na zamlžené sklo číselnou osu. Nula uprostřed, mráz doleva. Ukazuje: −3 leží víc vlevo než −2,5. „Čím víc vlevo, tím menší. Takže −3 je menší.“ Adam chvíli mlčí. Pak přikývne: „Takže když se oteplí z −3 na −2,5, je to oteplení.“ Přesně tak. Osa nelže, i když znaménka matou.

💡

Když si nejsi jistý(á) porovnáním, nakresli číselnou osu. Menší číslo je vždycky víc vlevo — u záporných čísel to platí taky.

Jak racionální čísla srovnat a převádět

Číselná osa. Nakresli čáru, doprostřed nulu. Doprava rostou kladná čísla, doleva klesají záporná. Každé racionální číslo má na ose své místo: 1/2 leží mezi 0 a 1, číslo −2,5 mezi −3 a −2.

Porovnávání. Víc vlevo = menší. Proto −7 < −2, i když sedmička vypadá větší. U zlomků a desetinných čísel si je nejdřív převeď na stejný tvar.

Zlomek na desetinné číslo: vyděl čitatele jmenovatelem. 3/4 = 3 : 4 = 0,75.

Desetinné číslo na zlomek: přečti ho nahlas. 0,2 je „dvě desetiny“, tedy 2/10, zkráceně 1/5. Číslo 0,75 je 75/100, zkráceně 3/4.

Opačné číslo má stejnou vzdálenost od nuly, jen na druhé straně: opačné k 4 je −4. Vzdálenost od nuly se jmenuje absolutní hodnota — u 4 i u −4 je to 4.

Tenhle převodní trojúhelník (zlomek ↔ desetinné číslo ↔ místo na ose) budeš používat celou úroveň. Procenta, poměry i úměrnosti na něm stojí.

Převeď 3/8 na desetinné číslo

Zlomek je schované dělení. Takže 3/8 = 3 : 8.

Postup dělení: 3 : 8 = 0, zbytek 3. Přidám desetinnou čárku a nulu: 30 : 8 = 3, zbytek 6. Dál: 60 : 8 = 7, zbytek 4. Dál: 40 : 8 = 5, zbytek 0. Hotovo.

Výsledek: 3/8 = 0,375. Kontrola odhadem: 3/8 je o kousek méně než polovina (4/8 = 0,5). A 0,375 opravdu je o kousek méně než 0,5. Sedí.

Seřaď od nejmenšího: −1,5; 1/2; −2; 0,4

Krok 1: všechno převedu na desetinná čísla. 1/2 = 0,5. Zbytek už desetinný je: −1,5; −2; 0,4.

Krok 2: záporná čísla jsou vždycky menší než kladná. Takže vlevo budou −2 a −1,5, vpravo 0,4 a 0,5.

Krok 3: z dvojice −2 a −1,5 je menší −2 (je dál od nuly doleva). Z dvojice 0,4 a 0,5 je menší 0,4.

Výsledek: −2 < −1,5 < 0,4 < 1/2.

Zapiš 0,45 jako zlomek v základním tvaru

Krok 1: přečti číslo nahlas. 0,45 je „čtyřicet pět setin“. Zapíšu: 45/100.

Krok 2: zkrátím. Čitatel i jmenovatel vydělím pěti: 45 : 5 = 9, 100 : 5 = 20.

Výsledek: 0,45 = 9/20. Zlomek 9/20 už zkrátit nejde — čísla 9 a 20 nemají společného dělitele kromě jedničky. Tomu se říká základní tvar. Kontrola zpětně: 9 : 20 = 0,45. Sedí.

⚠️

Pozor na záporná čísla: „větší číslice“ neznamená větší číslo. −7 není víc než −2. U záporných čísel je větší to, které je blíž nule. Dluh 7 korun je horší než dluh 2 koruny.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si počítání se zápornými čísly. Piš jen číslo, u záporného se znaménkem minus.

Procvičit příklady

Na papír: osa a převody

Nakresli si velkou číselnou osu od −3 do 3. Bude sloužit celé cvičení.

Vyznač na osu tato čísla: −2,5; 3/4; −1/2; 1,25. Nezapomeň: 3/4 leží mezi 0 a 1, blíž k jedničce.
Převeď na desetinná čísla dělením: 1/4, 2/5, 7/8. U každého napiš celý postup, ne jen výsledek.
Převeď na zlomky v základním tvaru: 0,6; 0,25; 0,08. Nejdřív přečti nahlas (desetiny, setiny), pak zkracuj.
Seřaď od nejmenšího: −0,7; 2/3; −3/4; 0. Zapiš i mezikroky převodů.

Teď ty 💪

Umím vysvětlit, co je racionální číslo: každé číslo, které jde zapsat zlomkem.
Převedu zlomek na desetinné číslo dělením a desetinné číslo na zlomek přečtením.
U dvou záporných čísel poznám, které je menší — to, které je dál od nuly doleva.

✅

Hotovo, když: Máš na papíře osu se čtyřmi vyznačenými čísly a všech šest převodů s postupem. Ani jedno porovnání záporných čísel tě nenachytalo.

Co si z téhle lekce odnést

Racionální číslo = číslo zapsatelné zlomkem. Patří sem celá čísla, zlomky i desetinná čísla.
Číselná osa: vlevo menší, vpravo větší. Platí to i pro záporná čísla.
Zlomek na desetinné číslo: vyděl čitatele jmenovatelem.
Desetinné číslo na zlomek: přečti nahlas (desetiny, setiny) a zkrať.
Opačné číslo leží stejně daleko od nuly, jen na druhé straně.