Druhy trojúhelníků

Trojúhelník má jména podle stran i podle úhlů

Začíná geometrická část Procentáře. Prvním hrdinou je trojúhelník — nejpevnější tvar, jaký stavitelé znají. Proto drží mosty, jeřáby i střechy.

Trojúhelníky třídíme dvěma způsoby. Podle stran: rovnostranný (všechny tři strany stejné), rovnoramenný (dvě stejné — říká se jim ramena), obecný (každá jiná).

Podle úhlů: ostroúhlý (všechny úhly ostré, tedy menší než 90°), pravoúhlý (jeden úhel přesně 90°), tupoúhlý (jeden úhel větší než 90°).

Každý trojúhelník má jméno z obou škatulek zároveň — třeba pravoúhlý rovnoramenný. Je to jako u lidí: příjmení po stranách, křestní jméno po úhlech. Až budeš trojúhelník popisovat, řekni obě.

A jedno pravidlo, které budeš používat pořád: součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku je 180°. Znáš dva úhly? Třetí dopočítáš odečtením. Žádná výjimka, žádný chyták — platí to pro malé i obří trojúhelníky, špičaté i placaté. Právě tohle pravidlo z něj dělá nejspolehlivější tvar celé geometrie.

Filip s Jonášem staví z lišt kulisy na školní divadlo. Obdélníkový rám se jim kroutí do kosočtverce. „Přidej příčku napříč,“ radí Jonáš. Filip přišroubuje úhlopříčku a rám najednou drží. „Proč to funguje?“ — „Udělal jsi z obdélníku dva trojúhelníky. Čtyřúhelník se umí zbortit, trojúhelník ne — se třemi pevnými stranami nejde hnout.“ Filip si prohlíží halu: trojúhelníky v krovu, v jeřábu za oknem, ve stojanu na kola. „Když je někde nosná konstrukce, jsou tam trojúhelníky,“ uzavře Jonáš.

Třídění a dopočítávání úhlů

Podle stran. Rovnostranný: tři stejné strany a k tomu zdarma tři stejné úhly po 60°. Rovnoramenný: dvě stejná ramena a základna; úhly při základně jsou stejné. Obecný: žádná shoda.

Podle úhlů. Ostroúhlý: všechny tři úhly pod 90°. Pravoúhlý: jeden úhel přesně 90° (u něj jsou strany zvané odvěsny, naproti pravému úhlu leží nejdelší strana — přepona). Tupoúhlý: jeden úhel přes 90°. Víc než jeden tupý nebo pravý úhel trojúhelník mít nemůže — nevešel by se do 180°.

Dopočet třetího úhlu: třetí úhel = 180° − první − druhý. Úhly 65° a 40° → třetí je 180 − 65 − 40 = 75°.

Trojúhelníková nerovnost. Ze tří úseček složíš trojúhelník, jen když součet každých dvou stran je větší než třetí. Strany 3, 4, 8 nesloží nic: 3 + 4 = 7 < 8, kratší strany na sebe nedosáhnou. Tohle si ověř vždycky, než začneš rýsovat — příští lekce na tom stojí.

Značení: vrcholy velkými písmeny A, B, C; strany malými a, b, c, přičemž strana a leží naproti vrcholu A.

Urči třetí úhel a druh trojúhelníku: 90° a 45°

Krok 1: třetí úhel: 180 − 90 − 45 = 45°.

Krok 2: třídím podle úhlů: jeden úhel má přesně 90° → pravoúhlý.

Krok 3: třídím podle stran: dva úhly jsou stejné (45° a 45°) → proti stejným úhlům leží stejné strany → rovnoramenný.

Výsledek: pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník s úhly 90°, 45°, 45°. Takový vznikne, když čtverec rozřízneš úhlopříčkou.

Rovnoramenný trojúhelník má u základny úhel 70°. Zbylé úhly?

Krok 1: v rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly při základně stejné. Druhý úhel u základny je tedy taky 70°.

Krok 2: třetí úhel (u vrcholu mezi rameny): 180 − 70 − 70 = 40°.

Výsledek: 70°, 70°, 40°. Kontrola součtem: 70 + 70 + 40 = 180. Sedí. Všechny úhly jsou pod 90°, takže je to navíc trojúhelník ostroúhlý.

Složíš trojúhelník ze stran 5 cm, 6 cm a 12 cm?

Testuji trojúhelníkovou nerovnost — součet každých dvou stran proti třetí:

5 + 6 = 11. Je 11 > 12? Ne.

Dál nemusím zkoušet — jedna porušená podmínka stačí.

Výsledek: trojúhelník nesložíš. Dvě kratší strany se k sobě nedokážou naklonit tak, aby se dotkly: i natažené do jedné čáry měří jen 11 cm, a mezera 12 cm je delší. Kdyby třetí strana měřila 10 cm, trojúhelník by existoval (5 + 6 = 11 > 10).

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Dopočítej třetí úhel. Pak si řekni, jaký je to trojúhelník podle úhlů.

Procvičit příklady

Na papír: galerie trojúhelníků

Budeš rýsovat i počítat. Připrav si pravítko a úhloměr.

1. Načrtni a popiš všech šest druhů: rovnostranný, rovnoramenný, obecný, ostroúhlý, pravoúhlý, tupoúhlý. U každého vyznač, co mu dává jméno.

2. Dopočítej třetí úhel: a) 35° a 82°, b) 90° a 28°, c) 118° a 31°. U každého urči druh podle úhlů.

3. Rozhodni bez rýsování, které trojice stran složí trojúhelník: a) 4, 5, 6; b) 2, 3, 6; c) 7, 7, 13.

4. Změř úhloměrem tři úhly libovolného trojúhelníku, který narýsuješ, a ověř, že součet je 180° (drobná odchylka měření je v pořádku).

Teď ty 💪

1. Vyjmenuji třídění podle stran i podle úhlů a umím trojúhelník zařadit do obou.
2. Dopočítám třetí úhel odečtením od 180°.
3. Ověřím trojúhelníkovou nerovnost, než začnu rýsovat.

Co si z téhle lekce odnést

• Podle stran: rovnostranný, rovnoramenný, obecný.
• Podle úhlů: ostroúhlý, pravoúhlý, tupoúhlý.
• Součet vnitřních úhlů je vždy 180°.
• Trojúhelníková nerovnost: součet dvou stran musí přerůst třetí.
• Trojúhelník je nejpevnější tvar — proto drží mosty a krovy.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Villkor för innehållsanvändning