Sčítání mnohočlenů · Programa con Martin

Co je mnohočlen, které členy se smí sečíst a jak si poradit s minusem před závorkou.

Jablka k jablkům, hrušky k hruškám

Výraz s víc členy má jméno: mnohočlen. 3x + 2 je dvojčlen, 2x² + 5x − 7 trojčlen. Nic děsivého — jen výrazy, které se skládají z několika členů.

Dnešní otázka: jak dva mnohočleny sečíst? Třeba (3x + 2) + (5x + 4)?

Odpověď zná každý prodavač ovoce. 3 jablka a 2 hrušky plus 5 jablek a 4 hrušky = 8 jablek a 6 hrušek. Jablka k jablkům, hrušky k hruškám. Nikdy jablka s hruškami.

V matice se tomu říká slučování stejných členů: 3x + 5x = 8x, protože oba členy mají stejné písmeno. Ale 3x + 4 sloučit nejde — x a číslo jsou jiné „ovoce“.

Jediná záludnost dneška je minus před závorkou. Ten převrací znaménka všeho uvnitř. Kdo tohle zvládne, má sčítání i odčítání mnohočlenů v kapse.

Filip a Tereza počítají materiál na dvě chatky ze stavebnice. První chatka: 4 dlouhé tyče a 6 krátkých. Druhá: 3 dlouhé a 8 krátkých. Filip píše na papír: 4d + 6k a pod to 3d + 8k. „Dohromady?“ Tereza sčítá po druzích: „Dlouhé: 4 + 3 = 7. Krátké: 6 + 8 = 14. Takže 7d + 14k.“ Filip zkusí sečíst 7d + 14k na „21dk“ — a Tereza ho zarazí: „Dlouhá tyč plus krátká tyč není žádná nová tyč. Různé druhy se nesčítají, jen se napíšou vedle sebe.“

💡

Stejné členy = úplně stejná písmenková část. 3x a 5x ano. 3x a 3x² ne — x a x² jsou různé druhy, jako jablko a jabloň.

Jak sčítat a odčítat mnohočleny

Sčítání:

Odstraň závorky. U plusu před závorkou se nic nemění: (3x + 2) + (5x + 4) = 3x + 2 + 5x + 4.
Najdi stejné členy. Pomáhá si je podtrhnout: x-členy rovnou čarou, čísla vlnovkou.
Sluč: 3x + 5x = 8x a 2 + 4 = 6. Výsledek: 8x + 6.

Odčítání — pozor, minus před závorkou:

(7x + 5) − (2x + 3): minus převrátí znaménko každého členu v závorce. Vznikne 7x + 5 − 2x − 3. Sluč: 5x + 2.

Proč se převrací? Odečíst balíček znamená odečíst všechno, co v něm je. Odečteš 2x a odečteš i 3.

S mocninami: (2x² + 3x) + (x² − 5x) = 2x² + x² + 3x − 5x = 3x² − 2x. Členy s x² k sobě, členy s x k sobě. x² a x se nikdy neslučují.

Na konci zkontroluj počet druhů: kolik různých písmenkových částí bylo na začátku, tolik jich smí být nejvýš na konci.

Příklad 1: (4a + 7) + (3a − 2)

Plus před závorkou — závorky jen zmizí:

4a + 7 + 3a − 2.

Podtrhnu druhy: a-členy 4a a 3a, čísla +7 a −2.

Sloučím: 4a + 3a = 7a a 7 − 2 = 5.

Výsledek: 7a + 5.

Kontrola dosazením: pro a = 1 dá původní zápis (4 + 7) + (3 − 2) = 12 a výsledek 7 + 5 = 12. Sedí.

Příklad 2: (6x + 4) − (2x + 9)

Minus před závorkou — převracím znaménka celé druhé závorky:

6x + 4 − 2x − 9.

Sloučím: 6x − 2x = 4x a 4 − 9 = −5.

Výsledek: 4x − 5.

Nejčastější chyba by byla 6x + 4 − 2x + 9: minus se použije jen na první člen a devítka zůstane s plusem. Proto: minus před závorkou = převrátit všechno uvnitř.

Příklad 3: (3x² + 2x − 1) + (x² − 2x + 5)

Tři druhy členů: x², x a čísla.

Odstraním závorky: 3x² + 2x − 1 + x² − 2x + 5.

x²-členy: 3x² + x² = 4x². x-členy: 2x − 2x = 0 — vyruší se úplně a mizí. Čísla: −1 + 5 = 4.

Výsledek: 4x² + 4.

Že se nějaký druh vyruší na nulu, je normální. Nula se do výsledku nepíše.

⚠️

3x + 4 se sloučit nedá — není to 7x ani 7. Sloučit jde jen členy se stejnou písmenkovou částí. Když si nejsi jistý(á), dosaď x = 10: 3 · 10 + 4 = 34, ale 7x by bylo 70 a 7 je 7. Hned vidíš, že slučování bylo špatně.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si sčítání a odčítání záporných čísel — přesně tohle děláš s koeficienty při slučování.

Procvičit příklady

Na papír

Podtrhávej druhy členů. Ruka si zvykne a oči pak chybu uvidí samy.

Sluč: 5x + 3x, 9a − 4a, 2b + 7b − b. Piš i mezikrok s podtrženými druhy.
Spočítej (8x + 3) + (2x − 7) a udělej kontrolu dosazením x = 1 do zadání i výsledku.
Spočítej (5y + 6) − (3y − 4). Pozor na obě znaménka za minusem.
Spočítej (2x² + x + 3) + (x² − x + 1) a napiš, který druh členů se vyrušil.

Teď ty 💪

Slučuju jen členy se stejnou písmenkovou částí.
Minus před závorkou převrací znaménka všech členů uvnitř.
Výsledek umím zkontrolovat dosazením čísla.

✅

Hotovo, když: Máš sloučené všechny čtyři úlohy s mezikroky, jednu kontrolu dosazením a sérii pěti správných v tréninku.

Co si z téhle lekce odnést

Mnohočlen je výraz s více členy: 2x² + 5x − 7.
Slučovat jde jen stejné členy: 3x + 5x = 8x, ale 3x + 4 zůstává.
x² a x jsou různé druhy — neslučují se.
Minus před závorkou převrátí znaménko každého členu uvnitř.
Kontrola dosazením odhalí špatné sloučení za pár sekund.