Rovnice se zlomky

Zlomky pryč jedním tahem

Rovnice x/3 + 2 = 6 vypadá nepříjemně. Zlomek u x znervózňuje. Dobrá zpráva: existuje tah, který všechny zlomky smete jedním krokem.

Vynásob celou rovnici jmenovatelem. Obě strany, každý člen. U x/3 + 2 = 6 vynásob třemi: x + 6 = 18. Zlomek zmizel a zbyla rovnice, jakou řešíš už tři lekce.

Proč to smí? Pořád pravidlo vah: když obě misky ztrojnásobíš, rovnováha zůstane.

Když je jmenovatelů víc — třeba x/2 + x/3 = 10 — vynásob společným jmenovatelem. Pro 2 a 3 je to 6: nejmenší číslo, které dělí obojí. Zlomky si pamatuješ ze sedmé třídy; tady se ti ta dřina vrátí jako výhoda.

Jedno pravidlo dneška podtrhni dvakrát: násobí se každý člen rovnice. I ten, který zlomek nemá. Vynechaný člen = rozhoupaná váha.

Tereza dostala vysvědčení a babička jí poslala peníze. Třetinu si uložila, 200 Kč utratila za knihu a zbylo jí přesně 400 Kč. „Kolik babička poslala?“ Filip píše: x − x/3 − 200 = 400. „Fuj, zlomek.“ Tereza: „Tak ho vyžeň. Krát tři, všechno.“ 3x − x − 600 = 1200 → 2x = 1800 → x = 900. Zkouška: třetina z 900 je 300, minus 200 za knihu… zbylo 400. Sedí. „Babička poslala devět stovek. A zlomek jsme viděli jen na začátku.“

Postup: vynásob společným jmenovatelem

1. Najdi společný jmenovatel. Jmenovatele jsou čísla dole ve zlomcích. Pro 2 a 3 je společný jmenovatel 6, pro 4 a 6 je to 12. Stačí vzít nejmenší číslo, které dělí všechny jmenovatele.

2. Vynásob jím KAŽDÝ člen obou stran. x/2 + x/3 = 10, násobím šesti:

6 · x/2 + 6 · x/3 = 6 · 10.

3. Zkrať zlomky. 6 · x/2 = 3x (šestka dělená dvěma), 6 · x/3 = 2x. Vznikne 3x + 2x = 60.

4. Řeš postaru. 5x = 60 → x = 12.

5. Zkouška v původní rovnici: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10. Sedí.

Zlomek jako x/3 čti jako „x děleno třemi“ — proto ho násobení třemi zruší: 3 · x/3 = x.

Když je v rovnici desetinné číslo a zlomek zároveň, klidně převeď desetinné číslo na zlomek nebo naopak — vyber si, co je ti milejší. Rovnice snese obojí, jen buď důsledný(á).

Příklad 1: x/4 = 7

Jeden zlomek, jmenovatel 4. Vynásobím celou rovnici čtyřmi:

4 · x/4 = 4 · 7

x = 28.

Zkouška: 28/4 = 7. Sedí.

Nejkratší možná ukázka celé myšlenky: násobení jmenovatelem zlomek zruší, protože „děleno čtyřmi krát čtyři“ se vyruší.

Příklad 2: x/5 + 3 = 9

Jmenovatel 5. Násobím pěti — POZOR, i trojku a devítku:

5 · x/5 + 5 · 3 = 5 · 9

x + 15 = 45.

Odečtu 15: x = 30.

Zkouška: 30/5 + 3 = 6 + 3 = 9. Sedí.

Kdo vynásobí jen zlomek a nechá „+ 3 = 9“, dostane x + 3 = 9 a x = 6. Zkouška: 6/5 + 3 = 4,2. Nesedí — a přesně tak se ta chyba pozná.

Příklad 3: x/2 − x/6 = 4

Jmenovatele 2 a 6. Společný jmenovatel: 6.

Násobím šesti: 6 · x/2 − 6 · x/6 = 6 · 4.

Zkrátím: 3x − x = 24.

Sloučím: 2x = 24 → x = 12.

Zkouška: 12/2 − 12/6 = 6 − 2 = 4. Sedí.

Dva zlomky, jeden tah, žádné společné jmenovatele uvnitř zlomků — násobení je vyřídilo všechny najednou.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si sčítání zlomků — hledání společného jmenovatele je stejný sval, jaký potřebuješ u rovnic.

Procvičit příklady

Na papír

Zakroužkuj členy, vynásob, zkrať, řeš. A zkouška do původní rovnice se zlomky.

1. Vyřeš: x/3 = 9, x/7 + 2 = 5. U druhé si zakroužkuj všechny tři členy před násobením.

2. Vyřeš x/2 + x/4 = 6. Napiš, jaký společný jmenovatel jsi zvolil(a).

3. Vyřeš 2x/3 − 1 = 7 a udělej zkoušku.

4. Tereza utratila polovinu kapesného za lístek do kina a 50 Kč za popcorn; zbylo jí 70 Kč. Napiš rovnici x/2 + 50 + 70 = x (nebo vlastní verzi), vyřeš a zkontroluj.

Teď ty 💪

1. Najdu společný jmenovatel více zlomků.
2. Násobím každý člen rovnice, i ten bez zlomku.
3. Po vynásobení umím zlomky zkrátit na celé členy.

Co si z téhle lekce odnést

• Zlomky z rovnice odstraníš vynásobením společným jmenovatelem.
• Násobí se každý člen obou stran — bez výjimky.
• x/3 je „x děleno třemi“; krát tři ho vrátí na x.
• Po zrušení zlomků řešíš obyčejnou rovnici.
• Zkouška se dělá v původní rovnici se zlomky.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Condiciones de uso del contenido