Sinus, kosinus, tangens (úvod) · Kodiraj s Martinom

Úhel prozradí strany

Stínová metoda potřebuje slunce. Co když nesvítí? Existuje nástroj, který spočítá strany trojúhelníku z úhlu — a tomu slunce chybět nemusí. Jmenuje se goniometrie.

Funguje jen v pravoúhlém trojúhelníku. Jeho strany mají jména: nejdelší, naproti pravému úhlu, je přepona. Zbylé dvě jsou odvěsny — a podle zvoleného úhlu se dělí na protilehlou (naproti úhlu) a přilehlou (u úhlu).

A teď to hlavní. Díky podobnosti (minulé lekce!) platí: všechny pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem mají stejné poměry stran. Malý i obří trojúhelník s úhlem 30° má poměr protilehlé ku přeponě vždycky 0,5.

Tyhle poměry dostaly jména: sinus (protilehlá/přepona), kosinus (přilehlá/přepona) a tangens (protilehlá/přilehlá). Jejich hodnoty umí kalkulačka pod tlačítky sin, cos, tan.

Dneska si je jen představíme a spočítáme první výšky. Žádný stres — je to úvod, ne zkouška.

Jonáš stojí pod rozhlednou a míří na její vrchol aplikací na měření úhlů. „Vidím vrchol pod úhlem 35 stupňů a stojím 40 metrů od paty.“ Sofie loví kalkulačku: „Tangens 35° je zhruba 0,7. Tangens je protilehlá ku přilehlé — výška ku vzdálenosti. Takže výška je 40 krát 0,7… 28 metrů.“ Jonáš mrkne do letáčku rozhledny: 28 metrů i s vyhlídkou. „Bez stínu, bez lezení. Úhel a jedna vzdálenost stačí.“

💡

Mnemotechnika na poměry: sinus = protilehlá/přepona, kosinus = přilehlá/přepona, tangens = protilehlá/přilehlá. Obě „ko“ věci (kosinus, přilehlá) patří k sobě.

Tři poměry a jak s nimi počítat

Krok 1: Načrtni pravoúhlý trojúhelník a popiš strany vzhledem k zadanému úhlu α: přepona (naproti pravému úhlu), protilehlá (naproti α), přilehlá (u α).

Krok 2: Vyber správný poměr podle toho, co znáš a co hledáš.

sin α = protilehlá / přepona — znám přeponu, hledám protilehlou (nebo obráceně). cos α = přilehlá / přepona — ve hře je přilehlá a přepona. tan α = protilehlá / přilehlá — ve hře jsou obě odvěsny (přepona nikde).

Krok 3: Najdi hodnotu na kalkulačce. Zkontroluj, že je přepnutá na stupně (DEG). Pár hodnot pro představu: sin 30° = 0,5. cos 60° = 0,5. tan 45° = 1 (úhel 45° = obě odvěsny stejné).

Krok 4: Dosaď a vyřeš rovnici. Příklad: přepona 10 cm, úhel 30°, hledám protilehlou. Ve hře je protilehlá a přepona → sinus. sin 30° = x/10, tedy 0,5 = x/10, takže x = 5 cm.

Krok 5: Kontrola smyslem. Odvěsna musí vyjít kratší než přepona. Vždycky.

Proč to funguje: dva pravoúhlé trojúhelníky se stejným α jsou podobné podle uu — takže poměry stran mají stejné. Goniometrie je zabalená podobnost.

Příklad 1: výška skluzavky (sinus)

Zadání: Skluzavka je dlouhá 4 m (to je přepona) a svírá se zemí úhel 30°. Jak vysoko je její start?

Postup: Výška je naproti úhlu → protilehlá. Znám přeponu. Protilehlá a přepona → sinus.

sin 30° = výška / 4.

Hodnota: sin 30° = 0,5. Tedy 0,5 = výška/4, takže výška = 2 m.

Kontrola smyslem: 2 m je méně než délka skluzavky 4 m — odvěsna kratší než přepona, sedí.

Odpověď: Start skluzavky je 2 m nad zemí.

Příklad 2: výška rozhledny (tangens)

Zadání: Stojíš 50 m od paty věže a vrchol vidíš pod úhlem 40°. Jak je věž vysoká? (tan 40° ≈ 0,84)

Postup: Výška věže = protilehlá, vzdálenost po zemi = přilehlá. Obě odvěsny, přepona nikde → tangens.

tan 40° = výška / 50.

0,84 = výška/50, takže výška = 50 · 0,84 = 42 m.

Kontrola smyslem: 42 m je vysoká věž, ale reálná (Petřínská rozhledna má 63,5 m).

Odpověď: Věž je vysoká přibližně 42 m.

Příklad 3: žebřík u zdi (kosinus)

Zadání: Žebřík dlouhý 5 m je opřený o zeď pod úhlem 60° od země. Jak daleko od zdi stojí jeho pata? (cos 60° = 0,5)

Postup: Vzdálenost paty od zdi je u úhlu → přilehlá. Žebřík je přepona. Přilehlá a přepona → kosinus.

cos 60° = vzdálenost / 5.

0,5 = vzdálenost/5, takže vzdálenost = 2,5 m.

Kontrola smyslem: strmý žebřík (60°) stojí blízko zdi — 2,5 m z 5 m délky sedí.

Odpověď: Pata žebříku je 2,5 m od zdi.

⚠️

Zkontroluj režim kalkulačky. Kalkulačky umí měřit úhly ve stupních (DEG) i v jiných jednotkách (RAD). Když je přepnutá špatně, sin 30° nevyjde 0,5, ale nesmysl — a celý výpočet je v koši. Před goniometrií vždycky mrkni na displej, jestli svítí DEG.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si Pythagorovu větu — s goniometrií tvoří v pravoúhlém trojúhelníku nerozlučnou dvojku. Piš celé číslo.

Procvičit příklady

Na papír

Náčrtek ke každé úloze. Popiš přeponu, protilehlou a přilehlou, pak teprve vybírej poměr.

Načrtni pravoúhlý trojúhelník s úhlem α a popiš všechny tři strany vzhledem k α. Pak popisky zopakuj pro druhý ostrý úhel — co se prohodilo?
Lano tobogánu je dlouhé 8 m a svírá se zemí úhel 30°. Jak vysoko začíná? (sin 30° = 0,5)
Stojíš 30 m od stromu, vrchol vidíš pod úhlem 45°. Jak vysoký je strom? (tan 45° = 1 — proč vychází tak hezky?)
Žebřík 6 m, úhel se zemí 60°. Vzdálenost paty od zdi? (cos 60° = 0,5) Zkontroluj, že vyšla kratší než žebřík.

Teď ty 💪

Umíš v náčrtku najít přeponu, protilehlou a přilehlou pro daný úhel.
Vybíráš poměr podle toho, které dvě strany jsou ve hře.
Víš, proč mají všechny trojúhelníky se stejným úhlem stejné poměry (podobnost uu).

✅

Hotovo, když: Máš tři vyřešené úlohy — jednu na sinus, jednu na kosinus, jednu na tangens — všechny s náčrtkem a kontrolou smyslem.

Co si z téhle lekce odnést

Goniometrie počítá strany pravoúhlého trojúhelníku z úhlu.
sin = protilehlá/přepona, cos = přilehlá/přepona, tan = protilehlá/přilehlá.
Poměry fungují díky podobnosti: stejný úhel = stejné poměry, jedno jak velký trojúhelník.
Vybírej poměr podle stran ve hře. Přepona nikde = tangens.
Kalkulačka musí být v režimu stupňů (DEG). Odvěsna vyjde vždy kratší než přepona.