Rovnice s neznámou ve jmenovateli

Když x sedí dole

Rovnice jako 3x + 2 = 14 už řešíš levou zadní. Dneska se x schová na nezvyklé místo: do jmenovatele. Třeba 6/x = 2.

Trik je jednoduchý: zlomku se zbav hned v prvním kroku. Vynásob obě strany rovnice jmenovatelem. Z 6/x = 2 se stane 6 = 2x. A to už je rovnice, jakou znáš.

Jenže pozor. Násobil(a) jsi výrazem, ve kterém je x. A kdyby x bylo náhodou nula, násobil(a) bys nulou — a to rovnici rozbije. Proto i tady platí podmínka: jmenovatel nesmí být nula.

A proto je u těchhle rovnic povinná zkouška. Dosadíš výsledek zpátky do původního zadání a ověříš, že levá strana opravdu rovná se pravá. Kdyby výsledek vyšel zrovna zakázané číslo, řešení neexistuje.

Postup má tři kroky: podmínka, vynásobit, zkouška. Pojď si je zažít.

Adam trénuje na přijímačky a zasekne se: „Vyšlo mi x = 1, ale v zadání je 5/(x − 1). Když dosadím, dělím nulou!“ Ema pokývá: „Přesně proto se píše podmínka. Tady je x ≠ 1 — a když ti vyjde zrovna jednička, znamená to, že rovnice nemá řešení. To není chyba ve výpočtu. To je správná odpověď: nemá řešení.“ Adam si to zapíše velkými písmeny. Odpověď „nemá řešení“ je u přijímaček stejně platná jako každé číslo.

💡

Podmínku urči dřív, než začneš počítat. Na konci pak jen mrkneš: vyšlo zakázané číslo? Pokud ano, rovnice nemá řešení.

Tři kroky: podmínka, vynásobit, zkouška

Krok 1: Podmínka. Najdi jmenovatel a urči, kdy je nula. U rovnice 12/(x − 1) = 4 je jmenovatel x − 1, takže x ≠ 1.

Krok 2: Vynásob obě strany jmenovatelem. Levá strana: zlomek zmizí, zůstane čitatel. Pravá strana: číslo krát jmenovatel. Z 12/(x − 1) = 4 dostaneš 12 = 4 · (x − 1).

Krok 3: Dořeš jako obyčejnou rovnici. Roznásob závorku: 12 = 4x − 4. Přičti 4: 16 = 4x. Vyděl čtyřmi: x = 4.

Krok 4: Porovnej s podmínkou. Vyšlo x = 4 a zakázaná byla jednička. Čtyřka projde.

Krok 5: Zkouška. Dosaď do původního zadání: 12/(4 − 1) = 12/3 = 4. Pravá strana je 4. Levá = pravá, hotovo.

Zkouška tady není buzerace navíc — je součást řešení. Násobením jmenovatelem se totiž může do výpočtu přimotat číslo, které v původní rovnici nefunguje. Zkouška ho odhalí.

Příklad 1: 6/x = 2

Zadání: Vyřeš rovnici 6/x = 2.

Postup: Podmínka: x ≠ 0.

Vynásobím obě strany x: 6 = 2x.

Vydělím dvěma: x = 3.

Porovnám s podmínkou: 3 není zakázané číslo, v pořádku.

Zkouška: Levá strana: 6/3 = 2. Pravá strana: 2. Rovná se.

Odpověď: x = 3.

Příklad 2: 15/(x + 2) = 3

Zadání: Vyřeš rovnici 15/(x + 2) = 3.

Postup: Podmínka: x + 2 ≠ 0, takže x ≠ −2.

Vynásobím obě strany výrazem (x + 2): 15 = 3 · (x + 2).

Roznásobím: 15 = 3x + 6.

Odečtu 6: 9 = 3x. Vydělím třemi: x = 3.

Zkouška: Levá strana: 15/(3 + 2) = 15/5 = 3. Pravá strana: 3. Sedí.

Odpověď: x = 3.

Příklad 3: rovnice bez řešení

Zadání: Vyřeš rovnici (2x − 6)/(x − 3) = 5.

Postup: Podmínka: x ≠ 3.

Vynásobím: 2x − 6 = 5 · (x − 3), tedy 2x − 6 = 5x − 15.

Převedu: −6 + 15 = 5x − 2x, tedy 9 = 3x, takže x = 3.

Porovnání s podmínkou: Trojka je zakázaná! Dosadit ji nejde — jmenovatel by byl nula.

Odpověď: Rovnice nemá řešení. A to je plnohodnotná odpověď, žádná kapitulace.

⚠️

Zkouška není nepovinný bonus. U rovnic s neznámou ve jmenovateli může „výsledek“ vyjít zakázané číslo — a pak řešení neexistuje. Bez zkoušky (nebo aspoň porovnání s podmínkou) odevzdáš odpověď, která v původní rovnici vůbec nefunguje. Třicet sekund zkoušky ti zachrání celý příklad.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Rozjeď ruku na obyčejných rovnicích — na ně každou rovnici se zlomkem převedeš. Piš celá čísla.

Procvičit příklady

Na papír

Tři rovnice, pokaždé celý rituál: podmínka, vynásobit, dořešit, zkouška.

Vyřeš 8/x = 4. Napiš podmínku, vynásob obě strany x, dořeš a udělej zkoušku.
Vyřeš 10/(x − 2) = 5. Pozor na závorku při násobení.
Vyřeš 9/(x + 1) = 3 a proveď zkoušku dosazením do původního zadání.
U každé rovnice zkontroluj: nevyšlo zakázané číslo z podmínky?

Teď ty 💪

Umíš vysvětlit, proč se obě strany násobí jmenovatelem a co to udělá se zlomkem.
Každá rovnice na papíře má podmínku a zkoušku.
Víš, co znamená, když výsledek vyjde zakázané číslo — rovnice nemá řešení.

✅

Hotovo, když: Máš tři vyřešené rovnice s neznámou ve jmenovateli, u každé podmínku i zkoušku, a všechny zkoušky sedí.

Co si z téhle lekce odnést

Zlomku v rovnici se zbavíš vynásobením obou stran jmenovatelem.
Podmínka (jmenovatel ≠ 0) se píše před počítáním.
Po vyřešení porovnej výsledek s podmínkou.
Zkouška dosazením do původního zadání je povinná část řešení.
„Nemá řešení“ je platná odpověď, když vyjde zakázané číslo.