Finanční matematika: úrok a spoření

Peníze, které vydělávají peníze

Dneska matika, která se týká tvojí peněženky. Když uložíš peníze do banky, banka ti za to platí. Té odměně se říká úrok.

Kolik dostaneš, určuje úroková sazba — číslo v procentech za rok (uvidíš zkratku p. a., latinsky per annum, „za rok“). Sazba 3 % p. a. znamená: za rok dostaneš 3 % z uložené částky.

Výpočet je čistá práce s procenty, kterou už umíš: úrok = vklad · sazba / 100. Vklad 5 000 Kč při 3 %: úrok = 5000 · 3/100 = 150 Kč. Po roce máš 5 150 Kč.

Funguje to i obráceně. Když si peníze půjčíš, úrok platíš ty. Stejný vzorec, opačný směr toku peněz — a sazby u půjček bývají mnohem vyšší než u spoření. Proto se vyplatí umět to spočítat dřív, než něco podepíšeš.

Dneska počítáme jednoduché úročení: úrok vždycky jen z původního vkladu. To zajímavější (úrok z úroku) přijde v příští lekci.

Ema si vydělala na brigádě 8 000 Kč a chce spořit na notebook. Táta jí ukazuje nabídku: spořicí účet 4 % ročně. „Takže kolik mi banka přidá?“ Ema počítá: „4 % z 8 000… 8000 krát 4 děleno 100… 320 Kč za rok.“ Táta přikývne: „A kdyby sis místo toho 8 000 půjčila na kreditku s 20 %, platila bys 1 600 ročně ty. Stejná matika, jiná strana rovnice.“ Ema si zapíše: spořit za 4 % ano, půjčovat za 20 % nikdy bez počítání.

💡

Procenta na peníze převáděj vždycky přes jedno procento: 1 % z 8 000 je 80 Kč, takže 4 % jsou 320 Kč. Pomalejší o tři sekundy, ale skoro nemožné splést.

Jednoduché úročení krok za krokem

Základní vzorec: úrok za rok = vklad · sazba / 100.

Krok 1: Vypiš, co znáš: vklad (kolik ukládáš), sazbu (kolik % za rok), dobu (kolik let).

Krok 2: Spočítej roční úrok. Vklad 10 000 Kč, sazba 2 %: úrok = 10 000 · 2/100 = 200 Kč.

Krok 3: Víc let při jednoduchém úročení = roční úrok krát počet let. Za 3 roky: 3 · 200 = 600 Kč.

Krok 4: Zůstatek = vklad + úroky. Po 3 letech: 10 000 + 600 = 10 600 Kč.

Obrácené úlohy (a ty bývají na přijímačkách):

„Úrok byl 150 Kč při sazbě 3 %. Jaký byl vklad?“ — hledám základ: vklad = 150 · 100/3 = 5 000 Kč.

„Vklad 4 000 Kč vynesl za rok 120 Kč. Jaká byla sazba?“ — hledám procenta: 120/4000 = 0,03, tedy 3 %.

Realita navíc: z úroků se platí daň 15 %, takže z připsaných 200 Kč reálně zbyde 170 Kč. V úlohách se daň počítá, jen když ji zadání zmíní — ale v bance na ni nezapomeň.

Příklad 1: rok spoření

Zadání: Vložíš 6 000 Kč na účet se sazbou 3 % ročně. Kolik je roční úrok a kolik máš po roce?

Postup: Přes jedno procento: 1 % z 6 000 je 60 Kč. Takže 3 % = 180 Kč.

Zůstatek po roce: 6 000 + 180 = 6 180 Kč.

Kontrola smyslem: 180 Kč z šesti tisíc je malý přírůstek — u 3 % odpovídá.

Odpověď: Úrok je 180 Kč, po roce máš 6 180 Kč.

Příklad 2: kolik byl vklad?

Zadání: Banka připsala za rok úrok 250 Kč při sazbě 2,5 %. Kolik bylo na účtu?

Postup: Hledám základ (100 %), znám 2,5 % = 250 Kč.

Jedno procento: 250/2,5 = 100 Kč.

Základ: 100 · 100 = 10 000 Kč.

Zkouška: 2,5 % z 10 000 = 10 000 · 2,5/100 = 250 Kč. Sedí.

Odpověď: Na účtu bylo 10 000 Kč. Obrácená úloha = trojčlenka na procenta, nic nového.

Příklad 3: půjčka — stejný vzorec, opačný směr

Zadání: Půjčka 20 000 Kč se sazbou 15 % ročně, splatíš ji přesně po roce. Kolik zaplatíš navíc a kolik celkem?

Postup: Úrok = 20 000 · 15/100 = 3 000 Kč.

Celkem vrátíš: 20 000 + 3 000 = 23 000 Kč.

Porovnání: stejných 20 000 Kč na spořicím účtu se 4 % by vyneslo 800 Kč. Půjčka stojí 3 000 Kč. Banka na rozdílu žije.

Odpověď: Navíc zaplatíš 3 000 Kč, celkem 23 000 Kč. Před každou půjčkou si tenhle řádek spočítej — je to tvoje obrana.

⚠️

Sazba je vždycky ZA OBDOBÍ — čti jaké. 3 % p. a. znamená za rok. Když spoříš jen půl roku, dostaneš polovinu: 1,5 %. A pozor na reklamy: „jen 2 % měsíčně“ je ve skutečnosti 24 % ročně — osmkrát víc než spořicí účet. Vždycky si sazbu přepočítej na rok, jinak srovnáváš jablka s hruškami.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Roční úroky z vkladu: vklad krát sazba děleno stem. Piš celé číslo v Kč.

Procvičit příklady

Na papír

Spoření, obrácená úloha a jedno srovnání, které se ti bude hodit celý život.

Vklad 12 000 Kč, sazba 3 % ročně. Spočítej roční úrok a zůstatek po roce i po třech letech (jednoduché úročení).
Úrok za rok byl 480 Kč při sazbě 4 %. Jaký byl vklad? Udělej zkoušku.
Půjčka 15 000 Kč na rok se sazbou 18 %. Kolik vrátíš celkem? A kolikrát je to víc, než co by stejná částka vynesla na účtu se 3 %?
Reklama slibuje „jen 1,5 % měsíčně“. Přepočítej na roční sazbu a porovnej s běžnou půjčkou za 10 % ročně. Která je levnější?

Teď ty 💪

Spočítáš úrok přes jedno procento bez kalkulačky.
Zvládneš obrácenou úlohu: z úroku a sazby najít vklad.
Přepočítáš měsíční sazbu na roční a víš, proč se to dělá.

✅

Hotovo, když: Máš spočítané spoření na tři roky, obrácenou úlohu se zkouškou a odhalenou reklamní past s měsíční sazbou.

Co si z téhle lekce odnést

Úrok = vklad · sazba / 100. Sazba p. a. znamená za rok.
Jednoduché úročení: každý rok stejný úrok z původního vkladu.
Obrácené úlohy (najdi vklad, najdi sazbu) jsou trojčlenka na procenta.
Při půjčce platíš úrok ty — stejný vzorec, opačný směr.
Měsíční sazbu vždy přepočítej na roční, jinak srovnání lže.