Konstrukce trojúhelníku

Ze tří stran vznikne trojúhelník. Kružítkem.

Dnes se z počtáře staneš rýsovačem. Úkol: narýsovat trojúhelník, když znáš délky všech tří stran. Říká se tomu konstrukce podle věty sss (strana–strana–strana).

Proč kružítko? Protože kružnice je množina bodů se stejnou vzdáleností od středu. Když hledáš bod, který je 4 cm od jednoho konce úsečky a 5 cm od druhého, nakreslíš dvě kružnice — a kde se protnou, tam ten bod je. Přesně tam patří třetí vrchol trojúhelníku.

Rýsování má u nás vždycky čtyři části: náčrtek (malý obrázek od ruky s popisky), rozbor (co udělám a proč), konstrukce (přesné rýsování) a kontrola (změřím, jestli sedí zadání).

Zní to obřadně, ale každá část má důvod. Náčrtek ti srovná v hlavě, co kam patří. Bez něj se rýsuje naslepo.

Ema rýsuje trojúhelník se stranami 7, 5 a 4 cm a hned od začátku přesně — a po třetí gumované čáře to vzdává. Sofie jí podá papír: „Nejdřív náčrtek. Klidně křivý, hlavně s čísly.“ Ema načmárá trojúhelníček, popíše strany a najednou vidí: nejdelší stranu dolů, dva oblouky nahoře. Konstrukce pak zabere dvě minuty. „To gumování mě stálo víc času než celý náčrtek,“ přizná. Sofie kývne: „Náčrtek je plán stavby. Zedník taky nestaví bez výkresu, i když umí zdít.“

Konstrukce sss krok za krokem

Zadání: strany a = 7 cm, b = 5 cm, c = 4 cm. (Připomínka značení: strana c leží naproti vrcholu C, spojuje vrcholy A a B.)

Náčrtek: malý trojúhelník od ruky, popiš vrcholy A, B, C a k jednotlivým stranám délky.

Rozbor: narýsuji stranu… kterou? Nejpohodlnější je začít nejdelší. Řeknu: narýsuji úsečku AB délky 7 cm. Vrchol C pak musí ležet 5 cm od A (oblouk kružnice se středem A a poloměrem 5 cm) a zároveň 4 cm od B (oblouk se středem B, poloměr 4 cm). C je průsečík obou oblouků.

Konstrukce:

1. Narýsuj úsečku AB, |AB| = 7 cm.
2. Kružítkem rozevřeným na 5 cm udělej oblouk se středem v A (nad úsečkou).
3. Rozevři kružítko na 4 cm a udělej oblouk se středem v B tak, aby první oblouk protnul.
4. Průsečík označ C a spoj s A i B.

Kontrola: pravítkem přeměř všechny tři strany. Odchylka do milimetru je daň za tloušťku tuhy; centimetr je chyba.

Oblouky se protínají nad úsečkou i pod ní — oba průsečíky dávají správný trojúhelník, jen zrcadlově. Úloha má dvě souměrná řešení; do sešitu stačí jedno a poznámka.

Konstrukce rovnostranného trojúhelníku se stranou 6 cm

Rovnostranný znamená a = b = c = 6 cm — kružítko rozevřu jen jednou.

Postup: narýsuji AB délky 6 cm. Se středem v A opíšu oblouk o poloměru 6 cm, se stejným rozevřením oblouk se středem v B. Průsečík je C.

Kontrola: všechny strany 6 cm a úhloměr ukáže 60° u každého vrcholu — vlastnost rovnostranného trojúhelníku z minulé lekce.

Tahle konstrukce je nejstarší v učebnicích geometrie: dvě kružnice, jedna úsečka, hotovo.

Proč konstrukce se stranami 3, 4 a 9 cm selže

Ověřím trojúhelníkovou nerovnost: 3 + 4 = 7. Je 7 > 9? Ne.

Co by se stalo při rýsování: narýsuji AB = 9 cm, oblouk kolem A s poloměrem 3 cm a oblouk kolem B s poloměrem 4 cm. Oblouky zůstanou od sebe — i kdyby ležely natažené na úsečce, dosáhnou jen do 7 cm z devíti. Průsečík neexistuje, trojúhelník taky ne.

Poučení: nerovnost ověř před rýsováním. Kružítko neumí vyrobit bod, který matematika zakázala.

Rovnoramenný trojúhelník: základna 5 cm, ramena 7 cm

Náčrtek: základna AB dole, stejná ramena AC a BC.

Rozbor: C leží 7 cm od A i 7 cm od B — dva oblouky se stejným poloměrem.

Konstrukce: AB = 5 cm, oblouk se středem A (poloměr 7 cm), oblouk se středem B (poloměr 7 cm), průsečík C, spojit.

Kontrola navíc: C musí ležet přesně nad středem základny — rovnoramenný trojúhelník je souměrný. Když je C viditelně stranou, jedno rozevření kružítka ujelo.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Konstrukce se rýsuje na papír. Tady dopočítej úhly, ať víš, co má vyjít.

Procvičit příklady

Na papír: rýsuj podle obřadu

Každá konstrukce má náčrtek, rozbor, konstrukci a kontrolu. Všechny čtyři části piš.

1. Narýsuj trojúhelník se stranami 8 cm, 6 cm a 5 cm. Přeměř výsledek.

2. Narýsuj rovnostranný trojúhelník se stranou 7 cm a úhloměrem ověř úhly 60°.

3. Zkus konstrukci se stranami 2 cm, 3 cm a 7 cm. Popiš vlastními slovy, co se stalo s oblouky a proč.

4. Narýsuj rovnoramenný trojúhelník se základnou 6 cm a rameny 5 cm. Ověř, že vrchol leží nad středem základny.

Teď ty 💪

1. Umím čtyři části: náčrtek, rozbor, konstrukce, kontrola.
2. Vím, proč se třetí vrchol hledá jako průsečík dvou oblouků.
3. Před konstrukcí ověřím trojúhelníkovou nerovnost.

Co si z téhle lekce odnést

• Konstrukce sss: úsečka + dva oblouky kružítkem, průsečík je třetí vrchol.
• Kružnice = všechny body stejně daleko od středu. Proto kružítko.
• Obřad: náčrtek → rozbor → konstrukce → kontrola.
• Nerovnost stran ověř dřív, než rýsuješ.
• Úloha sss má dvě zrcadlová řešení — stačí narýsovat jedno.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Contentgebruiksvoorwaarden