Druhá mocnina · Code met Martin

Co znamená číslo na druhou, jak se počítá a k čemu je dobrý čtverec z čísel.

Čtverec z čísel

Druhá mocnina je zkratka. Místo 7 · 7 napíšeš 7² a čteš „sedm na druhou“. Znamená to: vynásob číslo samo sebou. Nic víc v tom není.

Proč se tomu říká „na druhou“? Protože číslo v násobení stojí dvakrát. 7² = 7 · 7 = 49.

A proč čtverec? Představ si čtverec se stranou 7 cm. Jeho obsah je 7 · 7 = 49 cm². Druhá mocnina je obsah čtverce. Proto se jí anglicky říká „square“.

Letos ji budeš potřebovat pořád. Pythagorova věta, vzorce, obsah kruhu — všude se objeví to malé číslo nahoře. Kdo umí druhé mocniny do dvaceti zpaměti, má půlku osmé třídy jednodušší.

Dnes se naučíš mocninu číst, psát a počítat. A taky si dáš pozor na jednu past, na které se chytá skoro každý.

Adam skládá fotky na nástěnku. Chce z nich čtverec: stejný počet řádků a sloupců. Má 5 řádků po 5 fotkách. „Kolik jich potřebuju?“ počítá na prstech. Ema se dívá přes rameno: „5 na druhou. Pětadvacet.“ Adam zkusí větší čtverec, 8 × 8. Ema odpoví dřív, než stačí sáhnout po mobilu: „64.“ Adam nevěří: „Ty to máš v hlavě?“ — „Mám. Druhé mocniny do dvaceti. Trvalo mi to týden a od té doby je matika rychlejší.“ Adam si ten večer napíše tabulku na papír.

💡

Napiš si na papír druhé mocniny od 1² do 20² a nalep je nad stůl. Za týden je budeš znát zpaměti — a letos je použiješ stokrát.

Jak se počítá n²

Zápis n² znamená n · n. Malé číslo nahoře se jmenuje mocnitel (exponent) a říká, kolikrát číslo v násobení stojí. Dolní číslo je základ.

Postup je vždycky stejný:

Přečti zápis: 12² = „dvanáct na druhou“.
Rozepiš na násobení: 12 · 12.
Vynásob: 144.

Funguje to pro každé číslo. Desetinné: 0,5² = 0,5 · 0,5 = 0,25. Zlomek: (1/2)² = 1/4. U desetinných čísel počítej nejdřív bez čárky a čárku doplň nakonec: desetinných míst má výsledek tolik, kolik jich mají oba činitelé dohromady.

Pozor na záporná čísla. (−3)² znamená (−3) · (−3) = 9. Minus krát minus je plus, takže druhá mocnina záporného čísla vyjde kladná. Ale −3² bez závorky znamená −(3 · 3) = −9. Závorka rozhoduje, co se mocní.

A dvě speciality: 0² = 0 a 1² = 1. Nula a jednička se mocněním nezmění. Naopak žádná druhá mocnina nikdy nevyjde záporná — to se ti bude hodit hned v příští lekci u odmocnin.

Příklad 1: 13²

Chci 13². To je 13 · 13.

Rozložím si to: 13 · 13 = 13 · 10 + 13 · 3 = 130 + 39 = 169.

Nemusíš násobit pod sebou. Rozdělit si číslo na desítky a jednotky je rychlejší a míň se spleteš. Zkouška odhadem: 13 je blízko 10 a 10² = 100, ale taky blízko 15 a 15² = 225. Výsledek 169 leží mezi nimi. Sedí.

Příklad 2: (−6)² a −6²

Vypadají skoro stejně, ale nejsou.

(−6)² = (−6) · (−6) = 36. Závorka říká: mocni celé číslo −6. Minus krát minus dá plus.

−6² = −(6 · 6) = −36. Bez závorky se mocní jen šestka a minus zůstane před výsledkem.

Jeden znak závorky, rozdíl 72. Proto závorky v matice nikdy nejsou zbytečné.

Příklad 3: 0,4²

0,4² = 0,4 · 0,4.

Spočítám bez čárky: 4 · 4 = 16. Teď čárka: 0,4 má jedno desetinné místo, 0,4 taky — výsledek má dvě. Takže 0,16.

Všimni si: 0,16 je menší než 0,4. Když mocníš číslo mezi nulou a jedničkou, výsledek se zmenší. U čísel větších než 1 se zvětší. To se hodí na kontrolu odhadem.

⚠️

Nejčastější chyba: 5² = 10. Není! 5² znamená 5 · 5 = 25, ne 5 · 2. Mocnitel neříká „vynásob dvěma“, říká „napiš číslo dvakrát do násobení“.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Spočítej druhou mocninu. Piš jen výsledek.

Procvičit příklady

Na papír

Tužku do ruky. Mocniny se učí rukou, ne očima.

Napiš si tabulku 1² až 15². U každého řádku rozepiš násobení: 6² = 6 · 6 = 36. Tabulku si schovej, bude se hodit celý rok.
Spočítej a porovnej: (−5)² a −5². Napiš k oběma výsledkům jednu větu, proč vyšly jinak.
Spočítej 0,3², 0,7² a 1,2². U každého napiš, jestli výsledek vyšel větší, nebo menší než základ.
Čtverec má stranu 9 cm. Spočítej jeho obsah a napiš ho i s jednotkou (cm²).

Teď ty 💪

Umím přečíst 8² jako „osm na druhou“ a vím, že to je 8 · 8, ne 8 · 2.
Vím, proč (−4)² = 16, ale −4² = −16.
Druhé mocniny do 15 spočítám bez kalkulačky.

✅

Hotovo, když: Máš na papíře tabulku 1² až 15², umíš vysvětlit rozdíl mezi (−5)² a −5² a v tréninku máš sérii pěti správných.

Co si z téhle lekce odnést

n² = n · n. Mocnitel říká, kolikrát číslo stojí v násobení.
Druhá mocnina je obsah čtverce se stranou n.
(−3)² = 9, ale −3² = −9. Závorka rozhoduje.
Mocnina čísla mezi 0 a 1 vyjde menší než základ.
Druhé mocniny do 20 se vyplatí umět zpaměti.