Výšky a těžnice · Kode med Martin

Výška je kolmice z vrcholu na protější stranu, těžnice spojnice se středem strany. Rýsujeme obě.

Dvě důležité čáry uvnitř trojúhelníku

Trojúhelník už umíš narýsovat. Dnes do něj nakreslíš dvě slavné čáry, které budeš potřebovat u obsahů i ve fyzice.

Výška je úsečka z vrcholu kolmo na protější stranu (nebo její prodloužení). Představ si, že strana je podlaha a z vrcholu spustíš olovnici — kámen na provázku. Kam dopadne, tam končí výška. Každý trojúhelník má tři výšky a všechny se protínají v jednom bodě.

Těžnice je úsečka z vrcholu do středu protější strany. Žádná kolmost — prostě půlí stranu. I těžnice jsou tři a protínají se v jednom bodě: v těžišti. To je bod, na kterém trojúhelník vystřižený z kartonu udržíš na špičce prstu — je to jeho střed rovnováhy.

Výška patří ke kolmosti, těžnice ke středu strany. Kdo si ty dvě čáry nesplete, má vyhráno — a přesně na tom splétání dnes zapracujeme.

Adam vystřihl z kartonu velký trojúhelník na školní projekt a nese ho na dlani — pořád mu padá. Tereza: „Najdi těžiště.“ Narýsují dvě těžnice: pravítkem najdou středy dvou stran, spojí s protějšími vrcholy. Průsečík označí tečkou. Adam podepře trojúhelník prstem přesně v tečce — a karton se ani nehne, drží ve vodorovné poloze. „Funguje to i u třetí těžnice?“ ptá se. Narýsují ji: prochází stejným bodem. „Všechny tři se potkají v jednom bodě. To není náhoda, to je věta,“ říká Tereza.

💡

Na kolmici používej obě ryskové hrany trojúhelníkového pravítka: dlouhou přilož na stranu, ryska povede kolmo. Kolmice od oka je nejčastější zdroj chyb u výšek.

Jak narýsovat výšku a těžnici

Výška z vrcholu C (značí se v podle strany, na kterou padá):

Krok 1: přilož pravítko s ryskou tak, aby dlouhá hrana ležela na straně AB (protější straně). Krok 2: posouvej pravítko podél strany, dokud ryska neprojde vrcholem C. Krok 3: narýsuj úsečku z C kolmo na AB. Patě kolmice (bodu dopadu) se říká pata výšky.

Pozor u tupoúhlého trojúhelníku: výška z vrcholu u ostrého úhlu padá mimo trojúhelník — na prodloužení protější strany. Stranu si prodluž čárkovaně a kolmici spusť na prodloužení. Není to chyba, je to vlastnost tupoúhlých trojúhelníků.

Těžnice z vrcholu C:

Krok 1: najdi střed strany AB — buď změř a půl, nebo přesněji kružítkem (stejné oblouky z A i z B nad a pod úsečkou, spojnice průsečíků protne AB ve středu). Krok 2: spoj střed s vrcholem C rovnou čarou.

Kontrolní věty: tři výšky se protínají v jednom bodě (ortocentru), tři těžnice v těžišti. Těžiště navíc dělí každou těžnici v poměru 2 : 1 — od vrcholu je to dvakrát dál než od strany. Vida, poměr z lekce 12 v geometrii.

Výška v ostroúhlém trojúhelníku

Trojúhelník se stranami 7, 6 a 5 cm (narýsuj podle věty sss).

Výška z vrcholu C na stranu AB: přiložím ryskové pravítko dlouhou hranou na AB, sunu, až ryska protne C, a narýsuji kolmici. Pata výšky padne dovnitř strany AB.

Stejně narýsuji výšky z A a z B. Všechny tři čáry se protnou v jednom bodě uvnitř trojúhelníku.

Kontrola: úhloměrem ověř, že výška svírá se stranou 90°. Odchylka přes 2° znamená ujetou rysku.

Výška v tupoúhlém trojúhelníku padá ven

Narýsuj trojúhelník s úhlem 120° u vrcholu C (strany třeba 4 a 5 cm u toho úhlu).

Výška z vrcholu A na stranu BC: přiložím pravítko na BC — a vidím, že kolmice procházející A protne až prodloužení strany, ne stranu samotnou.

Postup: čárkovaně prodloužím BC za vrchol C, pak spustím kolmici z A na prodloužení. Pata výšky leží mimo trojúhelník.

Poučení: u tupoúhlého trojúhelníku padají dvě ze tří výšek ven. Prodloužení kresli čárkovaně, ať se pozná od stran.

Těžiště kartonového trojúhelníku

Vystřihni z kartonu libovolný trojúhelník.

Krok 1: kružítkem najdi středy dvou stran (oblouky z obou krajů, spojit průsečíky).

Krok 2: narýsuj dvě těžnice — středy spoj s protějšími vrcholy.

Krok 3: průsečík označ. Ověř třetí těžnicí: musí projít stejným bodem.

Krok 4: fyzikální kontrola — podepři trojúhelník prstem v označeném bodě. Drží vodorovně? Máš těžiště. Změř i poměr: od vrcholu k těžišti to je dvakrát tolik co od těžiště ke straně.

⚠️

Výška není těžnice. Výška jde kolmo (a nemusí trefit střed), těžnice jde do středu (a nemusí být kolmá). Splývají jen u speciálních trojúhelníků — třeba u rovnostranného. Než čáru narýsuješ, řekni nahlas, kterou z nich kreslíš.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Rýsování je na papír. Tady dopočítej úhly trojúhelníku.

Procvičit příklady

Na papír: čáry uvnitř trojúhelníku

Rýsuj ostrou tužkou, kolmice jen s ryskou. Každou čáru popiš (v, t).

Narýsuj trojúhelník se stranami 8, 7 a 6 cm a sestroj všechny tři výšky. Vyznač jejich průsečík.
Ve stejném (nebo novém) trojúhelníku sestroj všechny tři těžnice a vyznač těžiště. Změř, v jakém poměru těžiště dělí jednu těžnici.
Narýsuj tupoúhlý trojúhelník a sestroj výšku, která padá mimo trojúhelník. Prodloužení strany kresli čárkovaně.
Narýsuj rovnostranný trojúhelník se stranou 6 cm a ověř, že výška z vrcholu a těžnice z téhož vrcholu splývají v jedné čáře.

Teď ty 💪

Umím definice: výška = kolmice z vrcholu na protější stranu, těžnice = spojnice vrcholu se středem protější strany.
Vím, že u tupoúhlého trojúhelníku výška může padnout na prodloužení strany.
Najdu těžiště jako průsečík těžnic a vím, že dělí těžnice v poměru 2 : 1.

✅

Hotovo, když: V sešitě máš trojúhelník se třemi výškami, trojúhelník s těžnicemi a těžištěm (poměr 2 : 1 naměřen) a tupoúhlý s výškou venku.

Co si z téhle lekce odnést

Výška: z vrcholu kolmo na protější stranu. Tři výšky, jeden průsečík.
Těžnice: z vrcholu do středu protější strany. Průsečík = těžiště.
Těžiště dělí těžnici v poměru 2 : 1 od vrcholu a je středem rovnováhy.
V tupoúhlém trojúhelníku padají výšky na prodloužení stran.
Kolmice vždycky s ryskou, střed strany kružítkem.