Lineární funkce a její graf · Programa com Martin

Funkce, ze které je přímka

Funkce z minulé lekce — samé y = ax + b. Tenhle typ má jméno: lineární funkce. „Linea“ je latinsky čára. A přesně to je její kouzlo: když její hodnoty zakreslíš do grafu, vyjde přímka.

Graf kreslíš do souřadnicové sítě: vodorovná osa x, svislá osa y. Každý řádek tabulky hodnot je jeden bod — dvojice [x; y]. U lineární funkce leží všechny body v jedné řadě jako korálky na napnuté niti.

Ta dvě čísla v předpisu mají práci. Číslo a (u x) je sklon: říká, o kolik y stoupne, když x vzroste o 1. Velké a = strmá přímka. Záporné a = přímka klesá.

Číslo b (samotné) je startovní hodnota: kde přímka protíná osu y. Je to y pro x = 0.

Dneska nakreslíš první grafy a naučíš se z předpisu vyčíst tvar přímky, ještě než ji nakreslíš.

Ema si spoří na sluchátka. Začíná se 200 Kč a každý týden přidá 50 Kč. „To je lineární funkce,“ ukazuje Adamovi, „y = 50x + 200. Za x týdnů mám y korun.“ Nakreslí graf: body [0; 200], [1; 250], [2; 300] — všechny v jedné přímé řadě. Adam přiloží pravítko: „Fakt přímka. A vidím i budoucnost — za 10 týdnů budeš mít 700.“ Ema se ušklíbne: „Přesně proto se to kreslí. Graf ukáže všechny týdny najednou.“

💡

Na nakreslení přímky stačí dva body — ale spočítej si tři. Třetí bod je kontrola: když neleží v řadě s prvními dvěma, je někde početní chyba.

Z předpisu na graf ve třech krocích

Ukážu na funkci y = 2x + 1.

Krok 1: Tabulka aspoň tří hodnot. Volím jednoduchá x: 0, 1, 2. Vyjde y: 1, 3, 5. Mám body [0; 1], [1; 3], [2; 5].

Krok 2: Zakresli body. Bod [1; 3] znamená: jdi po ose x na jedničku, pak nahoru na trojku. Tečka.

Krok 3: Spoj pravítkem. Všechny tři body musí ležet na jedné přímce. Když třetí uhýbá, přepočítej ho — je to chyba v počítání, ne v pravítku.

Čtení předpisu bez kreslení:

y = 3x + 2 → sklon 3 (strmě stoupá), protíná osu y ve výšce 2. y = x − 4 → sklon 1 (stoupá mírně, o 1 za 1), protíná osu y v −4. y = −2x + 5 → sklon −2, klesá (za každý krok doprava jde o 2 dolů), startuje v 5. y = 3 → sklon 0, vodorovná přímka ve výšce 3. I to je lineární funkce, jen líná.

Fígl na kontrolu: dosaď x = 0. Vyjde přesně b. Když tvůj graf neprotíná osu y v b, něco nesedí.

Příklad 1: nakresli y = x + 2

Zadání: Sestav tabulku a nakresli graf funkce y = x + 2.

Postup: Tabulka pro x = 0, 1, 2, 3:

y = 2, 3, 4, 5. Body: [0; 2], [1; 3], [2; 4], [3; 5].

Zakreslím a spojím pravítkem — přímka stoupá pod úhlem 45° (sklon je 1: o jedna doprava, o jedna nahoru).

Kontrola: Pro x = 0 má být y = 2 — přímka opravdu protíná osu y ve dvojce. Sedí.

Příklad 2: poznej funkci podle předpisu

Zadání: Rozhodni bez kreslení, jak vypadají grafy y = 4x + 1, y = −x + 3 a y = 0,5x.

Postup: Čtu a a b.

y = 4x + 1: sklon 4 — hodně strmé stoupání. Start na ose y ve výšce 1.

y = −x + 3: sklon −1 — klesá. Start ve výšce 3.

y = 0,5x: sklon 0,5 — stoupá pozvolna (o půl nahoru za jedna doprava). Číslo b je 0, takže prochází počátkem [0; 0].

Odpověď: první strmě roste, druhá klesá, třetí mírně roste přímo z počátku.

Příklad 3: spoření jako přímka

Zadání: Filip má 300 Kč a týdně ušetří 40 Kč. Zapiš funkci, nakresli graf a odečti, kdy bude mít 500 Kč.

Postup: Předpis: y = 40x + 300 (x = týdny, y = Kč).

Tabulka: x = 0, 2, 5 → y = 300, 380, 500.

Z tabulky rovnou vidím: 500 Kč má v pátém týdnu. Ověřím rovnicí: 500 = 40x + 300, tedy 200 = 40x, takže x = 5. Sedí.

Odpověď: Za 5 týdnů. Graf tuhle odpověď ukáže jako bod, kde přímka protne výšku 500.

⚠️

Nezapomeň na měřítko os. Když na ose y skáčeš po stovkách a na ose x po jedničkách, přímka vypadá jinak strmá, než napovídá sklon. To je v pořádku — jen měj na obou osách pravidelné dílky a popiš je. Graf bez čísel na osách je obrázek, ne graf.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Počítej hodnoty lineárních funkcí — každá odpověď je jeden bod grafu. Piš celé číslo.

Procvičit příklady

Na papír

Vezmi čtverečkovaný papír, narýsuj osy a kresli. Pravítko je povinné.

Nakresli graf y = 2x + 1: tabulka pro x = 0, 1, 2, 3, zakreslit, spojit. Ověř, že přímka protíná osu y v 1.
Do stejného obrázku nakresli y = 2x + 3. Co mají obě přímky společného? (Nápověda: stejné a.)
Nakresli y = −x + 4. Zkontroluj, že klesá a startuje ve 4.
Z grafu první funkce odečti y pro x = 2,5 a ověř dosazením do předpisu.

Teď ty 💪

Z předpisu poznáš bez kreslení, jestli přímka stoupá, nebo klesá.
Víš, kde přímka protíná osu y (je to číslo b, hodnota pro x = 0).
Tvoje tři body vždycky leží na jedné přímce — třetí bod používáš jako kontrolu.

✅

Hotovo, když: Máš nakreslené tři přímky se správným sklonem i průsečíkem s osou y a jednu hodnotu odečtenou z grafu i ověřenou výpočtem.

Co si z téhle lekce odnést

Lineární funkce y = ax + b má graf přímku.
Číslo a je sklon: o kolik y stoupne, když x vzroste o 1. Záporné a = klesání.
Číslo b je průsečík s osou y — hodnota pro x = 0.
Na přímku stačí dva body, třetí kresli jako pojistku.
Stejné a = rovnoběžné přímky, liší se jen výškou startu.