Složené úročení

Úrok z úroku

Minule banka počítala úrok pořád z původního vkladu. Jenže skutečné účty fungují jinak — a mnohem zajímavěji. Úrok se na konci roku přidá k vkladu a další rok se úročí i on. Úrok z úroku. Tomu se říká složené úročení.

Rozdíl vypadá zpočátku titěrně. Vklad 10 000 Kč při 10 %: první rok obojí stejně, +1 000 Kč. Druhý rok jednoduché úročení přidá zase 1 000, ale složené počítá 10 % z 11 000 — tedy 1 100 Kč. O stovku víc.

Třetí rok o víc. Desátý rok o mnohem víc. Složené úročení každý rok počítá z většího a většího základu, takže spoření zrychluje jako lavina.

Počítá se to násobením: přičíst 10 % znamená vynásobit číslem 1,1. Dva roky = dvakrát vynásobit: 10 000 · 1,1 · 1,1 = 12 100 Kč.

Tenhle mechanismus je důvod, proč se vyplatí začít spořit brzo — a proč jsou dluhy, které se úročí složeně, tak nebezpečné. Oběma směry je to lavina.

Filip s Terezou testují spořicí kalkulačku. „Vložím 10 000 při deseti procentech. Za rok 11 000, to dává smysl,“ diktuje Filip. „Za dva roky…“ tipuje 12 000, ale kalkulačka ukáže 12 100. „Odkud je ta stovka navíc?“ Tereza se zasměje: „To je úrok z tvého loňského úroku. Tisícovka, co ti banka přidala, začala sama vydělávat.“ Filip zkusí 30 let: 174 494 Kč. „Sedmnáctinásobek?! A bez jediné další koruny vkladu?“ Přesně tak. Čas je při složeném úročení nejsilnější hráč.

Složené úročení krok za krokem

Krok 1: Převeď sazbu na násobitel. Sazba 10 % → násobitel 1,1. Sazba 5 % → 1,05. (Je to 100 % původních peněz plus úrok, tedy 110 % = 1,1.)

Krok 2: Násob za každý rok jednou.

Vklad 10 000 Kč, sazba 10 %: po 1. roce: 10 000 · 1,1 = 11 000 Kč, po 2. roce: 11 000 · 1,1 = 12 100 Kč, po 3. roce: 12 100 · 1,1 = 13 310 Kč.

Krok 3: Srovnej s jednoduchým úročením, ať vidíš rozdíl. Jednoduché za 3 roky: 10 000 + 3 · 1 000 = 13 000 Kč. Složené: 13 310 Kč. Rozdíl 310 Kč — a každý rok roste.

Proč to zrychluje: základ pro výpočet úroku se každý rok zvětší. První rok vydělává jen vklad. Druhý rok vklad + první úrok. Třetí rok vklad + dva úroky… Sněhová koule, co nabaluje.

Pozor, funguje to i proti tobě. Dluh 10 000 Kč při 20 % složeně: po roce 12 000, po dvou 14 400, po pěti skoro 25 000 Kč. Neplacený dluh se složeným úročením roste stejnou lavinou jako spoření — jen ji tlačíš z kopce na sebe.

Příklad 1: dva roky krok za krokem

Zadání: Vklad 5 000 Kč, sazba 10 % ročně, složené úročení. Kolik je na účtu po dvou letech?

Postup: Násobitel pro 10 % je 1,1.

Po 1. roce: 5 000 · 1,1 = 5 500 Kč. (Úrok 500 Kč.)

Po 2. roce: 5 500 · 1,1 = 6 050 Kč. (Úrok 550 Kč — už z 5 500.)

Srovnání: jednoduché úročení by dalo 5 000 + 2 · 500 = 6 000 Kč. Složené je o 50 Kč víc — to je úrok z prvního úroku: 10 % z 500.

Odpověď: Po dvou letech je na účtu 6 050 Kč.

Příklad 2: tři roky při 5 %

Zadání: Vklad 20 000 Kč, sazba 5 %, složené úročení, 3 roky. Kolik naspoříš?

Postup: Násobitel 1,05.

Po 1. roce: 20 000 · 1,05 = 21 000 Kč. Po 2. roce: 21 000 · 1,05 = 22 050 Kč. Po 3. roce: 22 050 · 1,05 = 23 152,50 Kč.

Kontrola smyslem: jednoduché úročení by dalo 23 000 Kč. Složené o 152,50 Kč víc — malý rozdíl za tři roky, ale roste každým rokem.

Odpověď: Po třech letech je na účtu 23 152,50 Kč.

Příklad 3: dluh jako lavina

Zadání: Nezaplacený dluh 8 000 Kč se úročí 20 % ročně (složeně). Kolik dlužíš po třech letech nesplácení?

Postup: Násobitel pro 20 % je 1,2.

Po 1. roce: 8 000 · 1,2 = 9 600 Kč. Po 2. roce: 9 600 · 1,2 = 11 520 Kč. Po 3. roce: 11 520 · 1,2 = 13 824 Kč.

Odpověď: Dluh narostl na 13 824 Kč — skoro o tři čtvrtiny. Stejná matika, která spoří tobě, umí pracovat proti tobě. Proto se dluhy splácejí hned a proto se před podpisem počítá.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Dva roky složeného úročení při 10 %: násob 1,1 a ještě jednou 1,1. Piš celé číslo v Kč.

Procvičit příklady

Na papír

Počítej po letech, ke každému roku jeden řádek. Uvidíš lavinu růst.

1. Vklad 10 000 Kč, 10 % složeně: spočítej zůstatky po 1., 2. a 3. roce. Vedle napiš jednoduché úročení a rozdíly.

2. Vklad 50 000 Kč, 4 % složeně, 2 roky. Kolik je na účtu? (Násobitel 1,04.)

3. Dluh 5 000 Kč, 25 % ročně složeně, 3 roky bez splácení. Kolik dlužíš? Zaokrouhli na koruny.

4. Otázka na zamyšlení s výpočtem: co je za 2 roky víc — 10 000 Kč při 20 % složeně, nebo 12 000 Kč při 5 % složeně?

Teď ty 💪

1. Umíš převést sazbu na násobitel (5 % → 1,05) a vysvětlit proč.
2. Počítáš každý rok zvlášť a víš, odkud se bere úrok z úroku.
3. Chápeš, že složené úročení funguje u spoření pro tebe a u dluhu proti tobě.

Co si z téhle lekce odnést

• Složené úročení = úrok se přidá k vkladu a dál vydělává taky.
• Přičíst p % znamená vynásobit (1 + p/100). Každý rok jedno násobení.
• Dva roky při 10 % je krát 1,21, ne krát 1,2.
• Čím delší čas, tím větší náskok složeného úročení — začni spořit brzo.
• U dluhů je to lavina proti tobě. Počítej, než podepíšeš.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Condições de uso do conteúdo