Obsah kruhu · Programa com Martin

Vzorec S = π · r²: kolik plochy se vejde do kruhu a proč velikost pizzy roste rychleji než průměr.

Kolik se vejde do kruhu

Obvod máš. Teď obsah — kolik plochy kruh zabírá. Kolik trávy na kulatý záhon, kolik těsta na pizzu, kolik látky na kulatý ubrus.

Vzorec: S = π · r². Pí krát poloměr na druhou.

Pozor na pořadí: nejdřív umocni poloměr, pak násob π. r² je mocnina z lekce 1 — a mocnit se musí dřív, než se násobí. Kdo spočítá (π · r)², dostane úplně jiné (špatné) číslo.

Ve vzorci je r, ne d. Když zadání dá průměr, nejdřív ho rozpůl.

A jedna věc, která překvapí: protože je ve vzorci druhá mocnina, roste obsah mnohem rychleji než poloměr. Dvakrát větší poloměr = čtyřikrát větší obsah. Proto velká pizza skoro vždycky vyplatí víc než dvě malé — a dnes si to spočítáš.

Ema s Filipem objednávají pizzu. Malá (průměr 26 cm) stojí 169 Kč, velká (průměr 40 cm) 299 Kč. Filip: „Vezmeme dvě malé, to je víc pizzy za skoro stejné peníze.“ Ema vytáhne mobil s kalkulačkou: „Malá: poloměr 13, obsah 3,14 · 169 = 531 cm². Dvě malé: 1062 cm². Velká: poloměr 20, obsah 3,14 · 400 = 1256 cm².“ Filip zírá: velká pizza má víc těsta než DVĚ malé — a stojí míň než ony. „Druhá mocnina,“ pokrčí rameny Ema. „Obsah roste rychleji, než se zdá.“

💡

Pořadí výpočtu: nejdřív r², pak krát π. U poloměru 5: nejdřív 25, pak 3,14 · 25 = 78,5. Nikdy nenásob 3,14 · 5 a pak na druhou — to je jiný a špatný výpočet.

Jak spočítat obsah

Vzorec: S = π · r².

Postup:

Zjisti poloměr. Průměr v zadání? Rozpůl: r = d/2.
Umocni: r².
Vynásob π ≈ 3,14.
Jednotka: obsah je v cm², m² — vždycky „na druhou“.

Příklad: kruh s poloměrem 4 cm. r² = 16, S = 3,14 · 16 = 50,24 cm².

Obráceně — z obsahu poloměr: kruhový koberec má 12,56 m². Jaký je poloměr? Otočím vzorec: r² = S/π = 12,56 : 3,14 = 4, takže r = √4 = 2 m. Odmocnina z lekce 2 v akci.

Kdy obvod a kdy obsah? Ptej se: měřím ČÁRU kolem (metr, plot, šňůra), nebo PLOCHU uvnitř (barva, tráva, těsto)? Čára = obvod (jednotky bez čtverce), plocha = obsah (jednotky na druhou). Jednotka výsledku tě vždycky prozradí.

Odhad: π je asi 3, takže obsah je zhruba tři čtverce r × r. Poloměr 10 → zhruba 300, přesně 314. Odhad chytá ztracené čárky.

Příklad 1: tráva na kulatý záhon

Záhon má průměr 6 m. Kolik m² trávníku kupuješ?

Průměr → poloměr: r = 6 : 2 = 3 m.

Umocním: r² = 9.

Vynásobím π: S = 3,14 · 9 = 28,26 m².

Koupím balení na 30 m².

Odhad na kontrolu: tři čtverce 3 × 3 = 27. Blízko 28,26 — sedí.

Příklad 2: velká pizza, nebo dvě malé?

Malá pizza d = 26 cm, velká d = 40 cm. Kolikrát má velká víc těsta?

Malá: r = 13, S = 3,14 · 169 = 530,66 cm².

Velká: r = 20, S = 3,14 · 400 = 1256 cm².

Podíl: 1256 : 530,66 ≈ 2,4krát víc.

Průměr vzrostl jen 1,5krát (z 26 na 40), ale obsah 2,4krát — protože poloměr se ve vzorci umocňuje. Malý rozdíl v průměru, velký v jídle.

Příklad 3: poloměr z obsahu

Kruhové zrcadlo má obsah 0,5024 m². Jaký má poloměr a průměr?

Otočím vzorec: r² = S/π = 0,5024 : 3,14 = 0,16.

Odmocním: r = √0,16 = 0,4 m.

Průměr: d = 0,8 m.

Kontrola dopředu: 3,14 · 0,4² = 3,14 · 0,16 = 0,5024. Sedí. Celá osmá třída v jednom příkladu: vzorec, vyjádření neznámé, odmocnina.

⚠️

Do vzorce S = π · r² patří POLOMĚR. Když dosadíš průměr, vyjde ti obsah čtyřikrát větší — u záhonu bys koupil(a) čtyřnásobek trávy. Průměr v zadání vždycky nejdřív rozpůl.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Spočítej obsah kruhu. Nejdřív r², pak krát π ≈ 3,14. Desetinná čísla piš s čárkou.

Procvičit příklady

Na papír

U každé úlohy nejdřív rozhodni: čára (obvod), nebo plocha (obsah)?

Spočítej obsah kruhu s poloměrem 6 cm a obsah kruhu s průměrem 6 cm. Vysvětli rozdíl.
Kulatý ubrus má mít průměr 1,8 m. Kolik m² látky je potřeba? A kolik metrů lemovky na okraj? (Dvě otázky — jedna na obsah, druhá na obvod.)
Přepočítej pizza úlohu ze scény s cenami z tvého oblíbeného podniku (najdi je v letáku nebo na webu s rodičem). Vyplatí se velká?
Kruhová fontána má obsah 28,26 m². Spočítej poloměr (otoč vzorec a odmocni).

Teď ty 💪

Počítám v pořadí: nejdřív r², pak krát π.
Průměr ze zadání vždycky nejdřív půlím.
Rozliším, kdy úloha chce obvod (čára) a kdy obsah (plocha).

✅

Hotovo, když: Máš spočítané obsahy i kombinovanou úlohu ubrus (obsah + obvod), vlastní pizza počty a série pěti správných v obou trénincích.

Co si z téhle lekce odnést

Obsah kruhu: S = π · r². Nejdřív mocnina, pak násobení.
Ve vzorci je poloměr — průměr nejdřív rozpůl.
Dvakrát větší poloměr = čtyřikrát větší obsah.
Čára kolem = obvod (m), plocha uvnitř = obsah (m²).
Z obsahu zpátky: r = √(S/π).