Rovnice se závorkami · Programa com Martin

Nejdřív roznásobit, pak řešit. Jak si poradit se závorkou a minusem před ní.

Nejdřív rozbal, pak řeš

Rovnice 3(x + 2) = 21. Uvnitř závorky sedí x a ty se k němu potřebuješ dostat.

Plán je jednoduchý: závorku nejdřív rozbal roznásobením — to už umíš z lekce 11 — a pak řeš rovnici jako každou jinou.

3(x + 2) = 21 → roznásobím: 3x + 6 = 21 → odečtu 6: 3x = 15 → vydělím: x = 5.

U téhle konkrétní rovnice by šla i zkratka (vydělit obě strany třemi hned na začátku), ale roznásobení funguje vždycky — i když je závorek víc nebo jsou na obou stranách. Proto se učí jako hlavní cesta.

Jediný nepřítel dneška je starý známý: minus před závorkou. Převrací znaménka všeho uvnitř a kdo na to zapomene, vyrobí chybu, kterou pak zkouška nemilosrdně odhalí. Právě proto zkoušku nikdy nevynecháváme.

Jonáš s Emou objednávají pizzu pro rodinu. Každá pizza stojí 189 Kč a k obědnávce je doprava 60 Kč. Zaplatili 627 Kč. „Kolik pizz jsme objednali?“ Ema píše: 189p + 60 = 627. Odečte dopravu: 189p = 567, vydělí: p = 3. Jonáš přidá těžší: „A kdyby byla sleva 10 Kč na každou pizzu s dopravou v ceně? To je (189 − 10) · p…“ Ema kývne: „Závorka. Nejdřív ji spočítáš nebo roznásobíš, pak řešíš dál. Pořadí je celý trik.“

💡

Roznásobenou rovnici si napiš celou znovu na nový řádek. Kdo roznásobuje „v hlavě přes řádek“, ztrácí znaménka. Papír je levnější než chyba.

Postup pro rovnice se závorkou

1. Roznásob všechny závorky. Člen před závorkou krát každý člen uvnitř: 2(3x − 4) = 6x − 8. Šipky pomáhají i tady.

2. Sluč stejné členy na každé straně zvlášť. Ještě nestěhuj přes rovnítko — nejdřív ukliď každou stranu.

3. Řeš jako obyčejnou rovnici: x-členy na jednu stranu, čísla na druhou, vyděl koeficientem.

4. Zkouška v původní rovnici — se závorkami! Dosaď a počítej podle pořadí operací.

Minus před závorkou: 10 − (x + 3) = 5. Minus převrátí oba členy: 10 − x − 3 = 5 → 7 − x = 5 → x = 2. Zkouška: 10 − (2 + 3) = 10 − 5 = 5. Sedí.

Závorky na obou stranách: 4(x + 1) = 2(x + 5). Roznásob obě: 4x + 4 = 2x + 10. Odečti 2x: 2x + 4 = 10. Odečti 4: 2x = 6. Vyděl: x = 3.

Pořadí kroků se nemění nikdy: rozbal → ukliď strany → stěhuj → vyděl → zkouška.

Příklad 1: 5(x − 2) = 30

Krok 1 — roznásobím: 5x − 10 = 30.

Krok 2 — přičtu 10: 5x = 40.

Krok 3 — vydělím pěti: x = 8.

Zkouška v původní rovnici: 5 · (8 − 2) = 5 · 6 = 30. Sedí.

Všimni si: ve zkoušce počítám nejdřív závorku (8 − 2 = 6), pak násobím. Zkouška jede podle pořadí operací, ne podle mých úprav.

Příklad 2: 12 − (2x − 4) = 8

Minus před závorkou — převracím obě znaménka uvnitř:

12 − 2x + 4 = 8.

Sloučím čísla vlevo: 16 − 2x = 8.

Odečtu 16: −2x = −8. Vydělím −2: x = 4.

Zkouška: 12 − (2 · 4 − 4) = 12 − (8 − 4) = 12 − 4 = 8. Sedí.

Ta +4 po převrácení je místo, kde padne půlka třídy. Minus před závorkou mění i minus uvnitř na plus.

Příklad 3: 3(x + 4) = 2(x + 9)

Roznásobím obě strany:

3x + 12 = 2x + 18.

Odečtu 2x z obou stran: x + 12 = 18.

Odečtu 12: x = 6.

Zkouška: levá 3 · (6 + 4) = 3 · 10 = 30, pravá 2 · (6 + 9) = 2 · 15 = 30. Sedí.

Dvě závorky nejsou dvojnásobný problém — jen dvakrát stejná práce. Rozbal obě a dál jedeš postaru.

⚠️

Minus před závorkou převrací znaménko KAŽDÉHO členu uvnitř: −(2x − 4) = −2x + 4, ne −2x − 4. Jedno zapomenuté znaménko = celá rovnice špatně. Zkouška to naštěstí vždycky chytí.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Vyřeš rovnici se závorkou a napiš jen x. Na papíře nejdřív roznásob — trénuj celý postup.

Procvičit příklady

Na papír

Rozbal, ukliď, stěhuj, vyděl, zkouška. Pět kroků na každém řádku sešitu.

Vyřeš: 4(x + 3) = 32, 6(x − 1) = 24. S roznásobením na vlastním řádku a zkouškou.
Vyřeš rovnici s minusem před závorkou: 20 − (x + 7) = 9.
Vyřeš se závorkami na obou stranách: 2(x + 5) = 3(x + 1).
Vstupenka stojí v předprodeji o 30 Kč míň než na místě. Pět vstupenek v předprodeji stojí 600 Kč. Napiš rovnici 5(x − 30) = 600, vyřeš ji a napiš, kolik stojí vstupenka na místě.

Teď ty 💪

Závorky nejdřív roznásobím, pak teprve stěhuju.
Minus před závorkou převrací všechna znaménka uvnitř.
Zkoušku dělám v původní rovnici se závorkami.

✅

Hotovo, když: Máš vyřešené čtyři rovnice se závorkami včetně slovní úlohy, všechny se zkouškou, a sérii pěti správných v tréninku.

Co si z téhle lekce odnést

Rovnice se závorkou: nejdřív roznásob, pak řeš postaru.
Minus před závorkou převrátí každé znaménko uvnitř.
Každou stranu ukliď zvlášť, teprve pak stěhuj přes rovnítko.
Zkouška patří do původní rovnice a jede podle pořadí operací.
Víc závorek = víc stejné práce, ne těžší úloha.