Funkce: stroj na čísla · Programuj s Martinom

Vhodíš x, vypadne y

Dneska začíná jedno z největších témat deváté třídy: funkce. Zní to učeně, ale je to obyčejný stroj na čísla. Vhodíš dovnitř číslo x, stroj ho zpracuje podle svého pravidla a vypadne číslo y.

Automat na jízdenky je funkce: vhodíš počet zón, vypadne cena. Taxametr je funkce: vhodíš kilometry, vypadne částka. Nabíječka je funkce: vhodíš minuty nabíjení, vypadnou procenta baterie.

Pravidlo stroje se zapisuje rovnicí. Třeba y = 3x + 5. Čteš: „vezmi x, vynásob třemi, přičti pět — a to je y.“

Důležitá vlastnost: pro jedno x vypadne vždycky jen jedno y. Stroj nehází kostkou. Stejný vstup, stejný výstup, pokaždé.

Dneska se naučíš funkci číst, počítat její hodnoty a sestavit tabulku. Grafy přijdou v příští lekci.

Jonáš si objednává taxi přes aplikaci. „Nástup 40 Kč a pak 30 Kč za kilometr,“ čte Sofie přes rameno. „To je funkce: y = 30x + 40. Vhodíš kilometry, vypadne cena.“ Jonáš zkouší: „Takže 5 kilometrů… 30 krát 5 je 150, plus 40 je 190 Kč.“ Sofie přikývne: „A aplikace to počítá úplně stejně. Žádná magie — jen dosazuje do vzorce. Kdo umí funkce, vidí do cenotvorby.“

💡

Slovo „funkce“ si vždycky přelož na „stroj na čísla“ a rovnici na návod: co se s x stane, než z něj bude y.

Zápis, dosazení a tabulka hodnot

Zápis funkce: y = 2x + 1. Písmeno x je vstup (co vhazuješ), y je výstup (co vypadne). Někdy se píše f(x) = 2x + 1 — čte se „f od x“ a znamená to totéž.

Výpočet hodnoty = dosazení. Chci vědět, co stroj udělá s trojkou. Napíšu místo x trojku: y = 2 · 3 + 1 = 7. Hotovo: pro x = 3 je y = 7.

Tabulka hodnot: několik vstupů a výstupů přehledně vedle sebe. Pro y = 2x + 1:

x: 0, 1, 2, 3 y: 1, 3, 5, 7

Všimni si pravidelnosti: když x vzroste o 1, y vzroste o 2. To dělá ta dvojka u x — v příští lekci z ní bude sklon grafu.

Co funkce není: předpis, který pro jeden vstup dává víc výstupů. „Vhodíš 3 a vypadne 7 nebo možná 10“ — to není funkce, to je rozbitý automat.

Postup na dnešek: vezmi předpis, dosaď čtyři různá x (klidně i nulu a záporné číslo), zapiš tabulku. Kdo umí tabulku, má za týden graf zadarmo.

Příklad 1: hodnoty funkce y = 3x + 5

Zadání: Vypočítej y pro x = 0, x = 2 a x = 10.

Postup: Dosazuju místo x:

Pro x = 0: y = 3 · 0 + 5 = 5. Pro x = 2: y = 3 · 2 + 5 = 11. Pro x = 10: y = 3 · 10 + 5 = 35.

Tabulka: x: 0, 2, 10 → y: 5, 11, 35.

Všimni si: nula je nejrychlejší dosazení na světě — všechno s x zmizí a zbyde jen +5. Nulu dosazuj vždycky jako první, je to kontrola zadarmo.

Příklad 2: taxík jako funkce

Zadání: Taxi účtuje 40 Kč nástup a 30 Kč za kilometr. Zapiš předpis a spočítej cenu za 3 km a za 8 km.

Postup: Vstup x = počet kilometrů, výstup y = cena v Kč.

Předpis: y = 30x + 40.

Pro x = 3: y = 30 · 3 + 40 = 90 + 40 = 130 Kč. Pro x = 8: y = 30 · 8 + 40 = 240 + 40 = 280 Kč.

Kontrola úvahou: 5 km navíc má stát 5 · 30 = 150 Kč navíc. A opravdu: 280 − 130 = 150. Sedí.

Příklad 3: najdi x, když znáš y

Zadání: Funkce y = 2x + 1. Pro jaké x je y = 15?

Postup: Teď jedu opačným směrem — znám výstup, hledám vstup. Dosadím y a vyřeším rovnici:

15 = 2x + 1.

Odečtu 1: 14 = 2x. Vydělím dvěma: x = 7.

Zkouška: y = 2 · 7 + 1 = 15. Sedí.

Odpověď: x = 7. Tenhle obrat (z y zpátky na x) je oblíbená přijímačková otázka — a je to jen obyčejná rovnice.

⚠️

Nezaměňuj vstup a výstup. Otázka „jaká je hodnota funkce pro x = 4“ znamená dosadit 4 za x. Otázka „pro jaké x je hodnota 4“ znamená položit y = 4 a vyřešit rovnici. Přečti si otázku dvakrát — obě znějí podobně a každá chce opačný postup.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Stroj na čísla naostro: dosaď x do předpisu a napiš, co vypadne. Piš celé číslo.

Procvičit příklady

Na papír

Tabulky hodnot a jeden vlastní stroj na čísla.

Funkce y = 2x + 3. Sestav tabulku pro x = 0, 1, 2, 3, 4. O kolik roste y, když x vzroste o 1?
Funkce y = 5x − 2. Vypočítej y pro x = 0, x = 2, x = 6.
Vymysli funkci z reálného života (nabíjení mobilu, cena za kopírování…), zapiš předpis a spočítej dvě hodnoty.
Funkce y = 4x + 1: pro jaké x je y = 21? Vyřeš jako rovnici a udělej zkoušku.

Teď ty 💪

Umíš přečíst y = 3x + 5 jako návod: vynásob třemi, přičti pět.
Sestavil(a) jsi tabulku hodnot a vidíš v ní pravidelný růst.
Zvládneš i obrácený směr: z hodnoty y najít x rovnicí.

✅

Hotovo, když: Máš dvě tabulky hodnot, jednu vlastní funkci ze života a jeden vyřešený obrácený příklad (z y na x).

Co si z téhle lekce odnést

Funkce je stroj na čísla: vhodíš x, podle pravidla vypadne y.
Pro jeden vstup existuje vždy jen jeden výstup.
Hodnotu funkce spočítáš dosazením x do předpisu.
Tabulka hodnot je nejrychlejší způsob, jak funkci poznat.
Z y zpátky na x se dostaneš rovnicí.