Povrch krychle a kvádru · Programuj s Martinom

Kolik papíru na zabalení krabice

Balíš dárek. Kolik balicího papíru potřebuješ? Přesně tolik, kolik je povrch krabice — součet ploch všech jejích stěn.

Krabice od bot je kvádr: těleso se 6 stěnami, samé obdélníky. Kostka je krychle: taky 6 stěn, ale samé stejné čtverce.

Nejlepší trik na povrch: rozlož těleso do plochy. Rozstřihni krabici po hranách a rozlož ji na stůl — vznikne placka ze šesti obdélníků, které se říká síť tělesa. A plochu placky už počítat umíš: obsah každého obdélníku vzorcem S = a × b, pak sečíst.

U kvádru si práci zkrátíš pozorováním: stěny jsou v párech. Dno a víko jsou stejné, přední a zadní stejné, levá a pravá stejné. Tři různé obdélníky, každý dvakrát — proto vzorec S = 2 × (a·b + b·c + a·c).

Povrch je pořád jen obsah — jen posbíraný ze všech stran krabice. Nová látka? Spíš stará látka šestkrát.

Sofie balí mámě dárek — krabici 30 cm dlouhou, 20 cm širokou a 10 cm vysokou. Odhaduje papír od oka, ustřihne, a chybí pruh přes roh. Jonáš, který to sleduje, vezme papír a tužku: „Spočítáme to. Dno a víko: dvakrát 30 krát 20 je 1 200. Přední a zadní: dvakrát 30 krát 10 je 600. Boky: dvakrát 20 krát 10 je 400.“ Sečte: 2 200 cm². „Kup arch 50 na 50, to je 2 500 — a zbude na přehyby.“ Druhý pokus: papír stačí, dárek zabalený. Odhad selhal, výpočet ne.

💡

Krabici si vždycky načrtni a popiš hrany a, b, c. Tři páry stěn pak vidíš před sebou: ab (dno+víko), bc (boky), ac (předek+zadek).

Síť, páry stěn a vzorce

Postup přes páry stěn (kvádr s hranami a, b, c):

Dno a víko: obdélníky a × b. Dohromady 2 × a × b.
Přední a zadní stěna: obdélníky a × c. Dohromady 2 × a × c.
Levý a pravý bok: obdélníky b × c. Dohromady 2 × b × c.
Sečti: S = 2·ab + 2·ac + 2·bc, zkráceně S = 2 × (ab + ac + bc).

Číselně pro krabici 30 × 20 × 10: ab = 600, ac = 300, bc = 200. Součet 1 100, krát dva = 2 200 cm².

Krychle má všech 6 stěn stejných — čtverce a × a:

S = 6 × a × a. Kostka s hranou 4 cm: S = 6 × 16 = 96 cm².

Kontroly, které tě podrží:

Povrch je plocha → jednotka cm² (m²). Vyjde-li cm³, spletl(a) sis povrch s objemem (ten přijde příště).
Do závorky patří tři různé součiny — každá dvojice hran právě jednou: ab, ac, bc. Kdo napíše dvakrát ab, počítá jednu stěnu čtyřikrát a jinou vůbec.
Odhad sítí: šest stěn krabice od bot ≈ šest papírů A5 ≈ tři papíry A4. Řádově tisíce cm², ne desítky.

Povrch kvádru 5 × 4 × 3 cm

Tři páry stěn:

ab = 5 × 4 = 20 cm²
ac = 5 × 3 = 15 cm²
bc = 4 × 3 = 12 cm²

Součet závorky: 20 + 15 + 12 = 47 cm².

Povrch: S = 2 × 47 = 94 cm².

Kontrola: šest stěn, žádná větší než 20 cm² → povrch musí být pod 6 × 20 = 120 cm² a nad 6 × 12 = 72 cm². Devadesát čtyři sedí do vidličky.

Povrch krychle s hranou 6 cm

Krychle = 6 stejných čtvercových stěn.

Jedna stěna: 6 × 6 = 36 cm².

Povrch: S = 6 × 36 = 216 cm².

Zajímavost pro hráče: klasická hrací kostka má hranu asi 1,6 cm — povrch 6 × 2,56 ≈ 15 cm². Rubikova kostka s hranou 5,7 cm má povrch skoro 195 cm². Stejný tvar, třináctkrát víc plochy na polepení.

Natírání bedny: povrch bez víka

Dřevěná bedna na hračky (60 × 40 × 30 cm, bez víka!) se má natřít zvenku. Kolik cm² se natírá?

Celý povrch: ab = 2 400, ac = 1 800, bc = 1 200 → S = 2 × 5 400 = 10 800 cm².

Jenže víko chybí — odečtu jednu stěnu a × b: 10 800 − 2 400 = 8 400 cm².

Poučení: vzorec je začátek, ne konec. Akvárium nemá víko, pokoj se maluje bez podlahy — vždycky si rozmysli, KTERÉ stěny se opravdu počítají.

⚠️

Povrch není objem. Povrch = plocha stěn zvenku (papír na zabalení, cm²). Objem = prostor uvnitř (co se vejde dovnitř, cm³). Slovní úloha napoví: „natřít, zabalit, polepit“ = povrch; „nalít, naplnit, vejde se“ = objem.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Počítej povrch kvádru: S = 2 × (ab + bc + ac). Piš si tři součiny na papír. Odpověď je číslo (v cm²).

Procvičit příklady

Na papír

Nejdřív stříhej, pak počítej — síť tělesa jednou v rukách vydá za deset vzorců.

Vezmi malou krabičku (od čaje, od sirek), rozstřihni ji po hranách a rozlož na síť. Změř stěny pravítkem, spočítej obsah každé a sečti povrch.
Spočítej povrch: kvádr 8 × 5 × 2 cm a krychle s hranou 7 cm. U kvádru vypiš všechny tři páry stěn.
Nakresli síť krychle s hranou 3 cm na čtverečkovaný papír (šest čtverců ve tvaru kříže), vystřihni a slep kostku.
Akvárium 50 × 30 × 30 cm nemá víko. Kolik cm² skla je potřeba? (Pozor: počítá se dno a čtyři boky.)

Teď ty 💪

Vyjmenuješ tři páry stěn kvádru a jejich rozměry (ab, ac, bc).
Spočítáš povrch kvádru vzorcem a krychle přes 6 stejných čtverců.
Poznáš ze zadání, jestli se ptá na povrch (balení, natírání), nebo objem (plnění).

✅

Hotovo, když: Spočítáš povrch krychle i kvádru přes páry stěn, rozložíš těleso na síť a umíš vynechat stěny, které se nepočítají.

Co si z téhle lekce odnést

Povrch = součet obsahů všech stěn. Jednotky čtvereční (cm²).
Kvádr: tři páry stěn → S = 2 × (ab + ac + bc).
Krychle: šest stejných čtverců → S = 6 × a × a.
Síť tělesa = krabice rozložená do placky. Nejlepší cesta k pochopení povrchu.
Čti zadání: balit a natírat = povrch, lít a plnit = objem. A někdy stěna chybí!