Kružnice opsaná a vepsaná · Kodiraj z Martinom

Kružnice opsaná prochází vrcholy, vepsaná se dotýká stran. Osy stran a osy úhlů ti najdou jejich středy.

Jedna kružnice okolo, druhá uvnitř

Ke každému trojúhelníku patří dvě zvláštní kružnice.

Kružnice opsaná prochází všemi třemi vrcholy — trojúhelník v ní sedí jako obraz v kulatém rámu. Její střed je stejně daleko od všech tří vrcholů.

Kružnice vepsaná je největší kružnice, která se vejde dovnitř — dotýká se všech tří stran. Její střed je stejně daleko od všech tří stran.

Jak ty středy najít? Pomůžou dvě čáry, které možná znáš. Osa strany — kolmice vedená středem strany; každý její bod má stejně daleko k oběma krajům strany. Osa úhlu — polopřímka půlící úhel; každý její bod má stejně daleko k oběma ramenům.

Střed kružnice opsané = průsečík os stran. Střed vepsané = průsečík os úhlů. Dnes obě kružnice sestrojíš — a uvidíš, že u tupoúhlého trojúhelníku se střed opsané kružnice stěhuje ven.

Jonáš navrhuje pro školní časopis logo: trojúhelník v kruhu. Kreslí kruh od oka kolem trojúhelníku — jednou mu vrchol leze ven, podruhé je kružnice moc velká. Ema si půjčí kružítko: „Střed nesmíš hádat. Musí být stejně daleko od všech tří vrcholů.“ Sestrojí osy dvou stran, průsečík zapíchne, rozevře kružítko k jednomu vrcholu a opíše kružnici. Projde všemi třemi vrcholy napoprvé. „Geometrie není kreslení od oka,“ směje se, „je to hledání bodů, které něco splňují.“

💡

Stačí dvě osy — třetí projde stejným průsečíkem, použij ji jen jako kontrolu. Šetři čas: dvě osy stran pro opsanou, dvě osy úhlů pro vepsanou.

Konstrukce obou kružnic

Kružnice opsaná:

Krok 1: sestroj osu strany AB — kružítkem stejné oblouky se středy A a B (poloměr větší než polovina strany), nad i pod stranou; spojnice průsečíků je osa. Krok 2: stejně sestroj osu strany BC. Krok 3: průsečík os označ S. Je stejně daleko od A, B i C. Krok 4: rozevři kružítko od S k libovolnému vrcholu a opiš kružnici. Musí projít všemi vrcholy.

Kde leží střed: u ostroúhlého trojúhelníku uvnitř, u pravoúhlého přesně ve středu přepony, u tupoúhlého venku. Kružnice existuje vždycky, jen její střed cestuje.

Kružnice vepsaná:

Krok 1: sestroj osu úhlu u vrcholu A — kružítkem oblouk přes obě ramena, z průsečíků dva stejné oblouky uvnitř úhlu, spojnice s vrcholem je osa. Krok 2: stejně osa úhlu B. Krok 3: průsečík označ S — je stejně daleko od všech stran. Krok 4: poloměr = kolmá vzdálenost S od kterékoli strany (spusť kolmici s ryskou). Opiš kružnici; má se stran jen dotýkat, ne je protínat.

Opsanou kružnici používají truhláři (kulatý stůl kolem trojúhelníkové desky), vepsanou každý, kdo chce do trojúhelníku vyříznout největší kruh.

Kružnice opsaná ostroúhlému trojúhelníku

Trojúhelník se stranami 7, 6 a 5 cm.

Sestrojím osu strany AB: oblouky se středy A a B (kružítko víc než 3,5 cm), průsečíky nad a pod, spojím. Totéž pro BC. Průsečík os je S — leží uvnitř trojúhelníku.

Kružítko od S do A, opíšu. Kružnice projde i B a C.

Kontrola: změř |SA|, |SB|, |SC| — tři stejné vzdálenosti. Když jedna uhne, osa byla křivě; nejčastěji kvůli malému rozevření kružítka při rýsování oblouků.

Pravoúhlý trojúhelník: střed opsané kružnice na přeponě

Narýsuj pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 6 a 8 cm (pravý úhel s ryskou).

Sestroj osy dvou stran. Průsečík vyjde přesně ve středu přepony — u pravoúhlých trojúhelníků to tak je vždycky.

Poloměr je polovina přepony: přepona měří 10 cm, poloměr 5 cm.

Tahle vlastnost se dá číst i pozpátku: když vrchol trojúhelníku leží na kružnici a protější strana je průměr, úhel u toho vrcholu je pravý. Staré řecké kouzlo, které funguje dodnes.

Kružnice vepsaná: největší kruh uvnitř

Trojúhelník se stranami 8, 7 a 6 cm.

Sestrojím osu úhlu A: oblouk protne obě ramena, z průsečíků stejné oblouky dovnitř, spojím s A. Totéž u vrcholu B. Průsečík je S.

Poloměr: z S spustím kolmici (s ryskou!) na stranu AB, vzdálenost změřím kružítkem. Opíšu kružnici.

Kontrola: kružnice se všech tří stran jen dotýká. Když některou protíná, poloměr nebyl kolmý — vzdálenost bodu od přímky se vždycky měří po kolmici, šikmá spojnice je delší.

⚠️

Nepleť si osy: strany pro opsanou, úhly pro vepsanou. Pomůcka: opsaná prochází vrcholy — a osa strany hlídá stejnou vzdálenost od vrcholů. Vepsaná se dotýká stran — a osa úhlu hlídá stejnou vzdálenost od stran (ramen).

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Kružnice se rýsují. Tady dopočítej úhly, ať znáš kontrolu.

Procvičit příklady

Na papír: dvě kružnice ke každému trojúhelníku

Rýsuj ostrou tužkou a měj trpělivost s oblouky — přesnost os rozhoduje o všem.

Narýsuj trojúhelník se stranami 9, 7 a 6 cm a sestroj kružnici opsanou. Ověř třemi vzdálenostmi od středu.
Témuž (nebo novému) trojúhelníku sestroj kružnici vepsanou. Poloměr spouštěj kolmicí s ryskou.
Narýsuj tupoúhlý trojúhelník a sestroj kružnici opsanou. Popiš, kde skončil střed.
Narýsuj pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 3 a 4 cm, sestroj opsanou kružnici a ověř, že střed leží ve středu přepony a poloměr je 2,5 cm.

Teď ty 💪

Umím rozdíl: opsaná prochází vrcholy, vepsaná se dotýká stran.
Opsanou konstruuji z os stran, vepsanou z os úhlů.
Vím, že poloměr vepsané kružnice se měří kolmo na stranu.

✅

Hotovo, když: V sešitě jsou čtyři konstrukce: opsaná, vepsaná, opsaná u tupoúhlého (střed venku) a pravoúhlý se středem na přeponě.

Co si z téhle lekce odnést

Kružnice opsaná: přes vrcholy, střed v průsečíku os stran.
Kružnice vepsaná: dotýká se stran, střed v průsečíku os úhlů.
Stačí dvě osy, třetí je kontrola.
U pravoúhlého trojúhelníku je střed opsané kružnice středem přepony.
Vzdálenost bodu od přímky se měří po kolmici.