Obsah rovnoběžníku a lichoběžníku

Uřízni, přesuň, přilep — a máš obdélník

Dnes dva vzorce, ale jen jedna myšlenka: šikmý tvar přeskládej na rovný a spočítej rovný.

Rovnoběžník: uřízni z jednoho boku pravoúhlý trojúhelník a přilep ho z druhé strany. Vznikne obdélník se stejnou základnou a výškou. Proto:

S = a × vₐ (základna krát výška na ni).

Pozor — výška, ne šikmá boční strana! To je nejdražší chyba téhle kapitoly.

Lichoběžník má dvě rovnoběžné základny: dlouhou a a krátkou c. Představ si ho jako obdélník, jehož šířka je někde mezi nimi — přesně uprostřed. Proto se počítá s průměrem základen:

S = (a + c) : 2 × v

Sečti základny, vyděl dvěma (to je ta průměrná šířka) a vynásob výškou. Oba vzorce dnes uvidíš vznikat, takže je nebudeš muset věřit — budeš je vědět.

Tereza s Filipem pomáhají dědovi vyměřit zahradní záhon tvaru rovnoběžníku: základna 4 m, šikmá strana 2,5 m, kolmá vzdálenost mezi dlouhými stranami 2 m. Filip počítá: „4 krát 2,5 je 10 metrů čtverečních.“ Děda se zasměje a natáhne mezi dlouhé strany provázek s olovnicí: „Měř kolmo, chlapče. Dva metry.“ Správně: 4 × 2 = 8 m². Filip nechápe: „A k čemu je pak ta strana 2,5?“ Tereza: „Na plot. Obvod se měří po stranách, obsah po kolmicích.“

Oba vzorce s odvozením

Rovnoběžník: S = a × vₐ.

Odvození nůžkami: z levého boku rovnoběžníku odstřihni pravoúhlý trojúhelník a přisuň ho k pravému boku. Díly do sebe zapadnou a vznikne obdélník: základna a, výška vₐ. Nic nepřibylo, nic neubylo — obsah je stejný.

Postup: 1) najdi základnu, 2) najdi výšku na ni (kolmá vzdálenost k protější straně), 3) vynásob.

Lichoběžník: S = (a + c) : 2 × v.

Odvození přilepením: vezmi druhý stejný lichoběžník, otoč ho vzhůru nohama a přilep. Vznikne rovnoběžník se základnou (a + c) a výškou v. Jeho obsah je (a + c) × v — a tvůj lichoběžník je polovina.

Postup: 1) sečti obě základny (rovnoběžné strany!), 2) vyděl dvěma, 3) vynásob výškou.

Kontrolní otázky před dosazením: Jsou moje dvě základny opravdu ty rovnoběžné strany? Je moje výška kolmá? Mám všechno ve stejných jednotkách?

Obrácené úlohy fungují jako u trojúhelníku: ze S = a × vₐ vyjádříš vₐ = S : a. U lichoběžníku z obsahu a výšky dopočítáš součet základen: a + c = 2 × S : v.

Rovnoběžník: základna 9 cm, výška 4 cm, boční strana 5 cm

Krok 1: pro obsah potřebuji základnu a výšku. Boční strana 5 cm je návnada — patří k obvodu.

Krok 2: S = 9 × 4 = 36 cm².

Výsledek: 36 cm². A když už tu je: obvod = 2 × (9 + 5) = 28 cm. Vidíš rozdíl rolí? Strana 5 cm se uplatnila v obvodu, výška 4 cm v obsahu. Každé číslo v zadání má svou práci — ale ne každé patří do každého vzorce.

Lichoběžník: základny 10 cm a 6 cm, výška 5 cm

Krok 1: základny jsou rovnoběžné strany: a = 10, c = 6.

Krok 2: průměrná šířka: (10 + 6) : 2 = 8 cm.

Krok 3: krát výška: 8 × 5 = 40.

Výsledek: S = 40 cm². Kontrola rozumem: obdélník 10 × 5 by měl 50 cm², obdélník 6 × 5 jen 30 cm². Lichoběžník je někde mezi — a 40 je přesně mezi. Vzorec s průměrem dělá přesně to, co říká intuice.

Obrácená úloha: rovnoběžník má obsah 54 m² a základnu 12 m

Hledám výšku.

Krok 1: ze vzorce S = a × v vyjádřím v = S : a.

Krok 2: v = 54 : 12 = 4,5.

Výsledek: výška je 4,5 m. Kontrola: 12 × 4,5 = 54 m². Sedí.

Použití ze života: tolik místa zbývá mezi dvěma rovnoběžnými ploty, když znáš výměru pozemku a délku podél cesty. Obrácené úlohy nejsou školní výmysl — takhle se doopravdy vyměřuje.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si obsah obdélníku a čtverce — rovnoběžník je jen jejich přeskládaný bratranec. Piš jen číslo v cm².

Procvičit příklady

Na papír: nůžky a vzorce

První úloha je s nůžkami — odvození vlastníma rukama vydrží v hlavě nejdéle.

1. Nakresli na čtverečkovaný papír rovnoběžník, vystřihni ho, odstřihni boční trojúhelník a přeskládej na obdélník. Spočítej obsah spočítáním čtverečků i vzorcem — musí se shodovat.

2. Vypočítej obsah rovnoběžníku se základnou 15 cm a výškou 8 cm. Boční strana 9 cm — napiš, k čemu se hodí ona.

3. Lichoběžníkové pole má základny 60 m a 40 m, výšku 25 m. Kolik m² měří? A kolik takových polí se vejde do hektaru (10 000 m²)?

4. Lichoběžník má obsah 42 cm², výšku 6 cm a jednu základnu 9 cm. Dopočítej druhou základnu a ověř.

Teď ty 💪

1. Umím S = a × vₐ pro rovnoběžník a vím, proč platí (přeskládání na obdélník).
2. Umím S = (a + c) : 2 × v pro lichoběžník a poznám jeho základny.
3. Nepletu šikmou stranu s výškou.

Co si z téhle lekce odnést

• Rovnoběžník: S = základna × výška na ni.
• Lichoběžník: S = průměr základen × výška.
• Obvod chodí po stranách, obsah po výškách.
• Oba vzorce vznikly přeskládáním na obdélník — dají se kdykoli odvodit znovu.
• Šikmá strana do obsahu nepatří, kolmice je vždy kratší.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Pogoji uporabe vsebine