Rozšiřování a krácení zlomků

Jeden zlomek, mnoho převleků

Půlka pizzy. Rozkrájíš ji na dva kusy — máš 2/4. Rozkrájíš na čtyři — máš 4/8. Pořád je to stejné množství pizzy. Jen jinak nakrájené.

1/2 = 2/4 = 4/8 = 50/100. Jeden zlomek, mnoho zápisů. A přepínání mezi nimi je dovednost, na které stojí skoro všechno další počítání se zlomky.

Rozšiřování: vynásobíš čitatele i jmenovatele stejným číslem. Z 1/2 se stane 2/4 (obojí krát 2). Víc dílů, ale menších — hodnota se nemění.

Krácení: vydělíš čitatele i jmenovatele stejným číslem. Z 6/8 se stane 3/4 (obojí děleno 2). Míň dílů, ale větších — hodnota stejná.

Proč se to učit? Krácení dělá ze zlomků čitelné tvary (12/16 nikomu nic neříká, 3/4 ano). A rozšiřování budeš potřebovat hned v desáté lekci, až budeš sčítat zlomky s různými jmenovateli.

Ema odevzdala test a hlásí Filipovi: „Měla jsem 12 z 16 bodů.“ Filip: „A to je hodně, nebo málo?“ Ema napíše 12/16 a začne krátit: „Dvanáct i šestnáct jde dělit čtyřmi. 12 : 4 = 3, 16 : 4 = 4.“ Ukáže výsledek: 3/4. „Tři čtvrtiny bodů. To je jako 75 ze sta.“ Filip hvízdne — 3/4 si umí představit hned, 12/16 vůbec. Stejná známka, stejný test, ale zkrácený zlomek najednou mluví jasně. Přesně na tohle je krácení: přeložit zlomek do srozumitelného tvaru.

Obě čísla, stejné číslo, vždycky

Zlatá věta téhle lekce: Co uděláš dole, udělej i nahoře — stejným číslem.

Rozšiřování (násobení):

1. Vyber číslo, třeba 3.
2. Vynásob jím čitatele i jmenovatele: 2/5 → (2×3)/(5×3) = 6/15.
3. Hodnota se nezměnila: 2/5 = 6/15.

Proč to funguje: každý díl jsi rozřezal(a) na 3 menší. Dílů máš 3× víc, ale každý je 3× menší. Krát tři a děleno třemi se vyruší.

Krácení (dělení):

1. Najdi číslo, kterým jdou dělit obě čísla beze zbytku — společný dělitel.
2. Vyděl jím obě: 6/8 → (6:2)/(8:2) = 3/4.
3. Opakuj, dokud už žádný společný dělitel (kromě 1) není. Pak je zlomek v základním tvaru.

Jak hledat společný dělitel: zkoušej malá čísla — 2 (obě sudá?), 3, 5. U 12/16 vidíš, že obě jdou dělit 4 — nebo dvakrát po sobě dvojkou, výsledek je stejný.

Kontrola, že jsi krátil(a) správně: zkrácený zlomek jde rozšířit zpátky na původní. 3/4 rozšířené čtyřmi je 12/16 ✓.

Rozšiř 3/4 na dvanáctiny

Chci jmenovatel 12. Ptám se: čím vynásobit 4, aby vyšlo 12? Odpověď: 3 (protože 4 × 3 = 12).

Stejným číslem musím vynásobit i čitatele: 3 × 3 = 9.

Výsledek: 3/4 = 9/12.

Kontrola obrázkem: čokoláda na 4 sloupce, mám 3. Rozřežu každý sloupec na 3 kostičky → 12 kostiček celkem, mých je 9. Pořád stejný kus čokolády.

Zkrať 18/24 co nejvíc

Hledám společné dělitele:

Kolo 1: Obě čísla sudá → dělím 2: 18/24 → 9/12.

Kolo 2: 9 i 12 jdou dělit 3: 9/12 → 3/4.

Kolo 3: 3 a 4 už nemají společného dělitele (kromě 1). Hotovo — základní tvar.

Rychlejší cesta: kdo vidí, že 18 i 24 jdou dělit rovnou 6, je u 3/4 na jeden krok. Obě cesty jsou správně, výsledek je vždycky stejný.

Jsou 2/3 a 10/15 stejný zlomek?

Zkusím 2/3 rozšířit tak, aby dole bylo 15. Čím krát 3 dá 15? Pěti.

Rozšířím pěti: (2×5)/(3×5) = 10/15.

Ano — 2/3 = 10/15, je to tentýž zlomek v jiném převleku.

Druhá cesta: zkrátit 10/15 pěti → 2/3. Obě cesty se potkají. Takhle poznáš „zlomky-dvojníky“: jeden jde převléknout na druhý rozšířením nebo krácením.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Krať zlomky na základní tvar. Odpověď piš jako zlomek s lomítkem, třeba 3/4.

Procvičit příklady

Na papír

Ke každému kroku piš, jakým číslem násobíš nebo dělíš. Kdo píše kroky, nedělá chyby.

1. Rozšiř: 1/2 na šestiny, 2/5 na dvacetiny, 3/8 na čtyřiadvacetiny. Vždy napiš, jakým číslem rozšiřuješ.

2. Zkrať na základní tvar: 8/12, 15/20, 24/36. Piš postupné kroky.

3. Ema měla v testu 12/16 bodů, Adam 15/20. Zkrať oba zlomky a rozhodni, kdo napsal test líp — nebo jestli stejně.

4. Napiš čtyři různé převleky zlomku 2/3 (rozšiřuj různými čísly). Pak jeden z nich zkrať zpátky a ověř, že vyjde 2/3.

Teď ty 💪

1. Rozšíříš 3/4 na libovolný jmenovatel, který je násobkem čtyř.
2. Zkrátíš 18/24 na základní tvar a víš, kdy přestat.
3. Umíš vysvětlit, proč se hodnota při rozšíření nemění — třeba přes krájení čokolády.

Co si z téhle lekce odnést

• Rozšiřování: čitatel i jmenovatel krát stejné číslo. Hodnota se nemění.
• Krácení: čitatel i jmenovatel děleno stejným číslem. Hodnota se nemění.
• Základní tvar = už není čím krátit (kromě 1). 12/16 → 3/4.
• Krátit můžeš postupně po malých krocích — víc kroků není chyba.
• Přičítání stejného čísla nahoru i dolů zlomek MĚNÍ. Jen násobení a dělení ho zachová.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Pogoji uporabe vsebine