Kužel: povrch a objem

Zmrzlina, kornout, kužel

Vezmi válec a seřízni ho do špičky — máš kužel. Kornout na zmrzlinu, dopravní kužel, špička tužky. Dole kruh, nahoře vrchol.

Dobrá zpráva: jestli umíš válec, kužel je skoro zadarmo. Objem kuželu je třetina objemu válce se stejnou podstavou a výškou: V = (π · r² · v) / 3. Stejný příběh jako u jehlanu — špička žere prostor a nechá jen třetinu.

Povrch má dva díly: kruhovou podstavu (π · r²) a plášť — tu zatočenou „čepici“. Když plášť rozstřihneš a rozložíš, není to obdélník jako u válce, ale kruhová výseč. Její obsah je π · r · s, kde s je strana kuželu — vzdálenost od okraje podstavy ke špičce, měřená po povrchu.

Zase tu máme dvě délky: výšku v (kolmo vnitřkem) a stranu s (šikmo po plášti). Výška patří do objemu, strana do povrchu. Stejná logika jako u jehlanu, jen v kulatém.

Počítáme s π ≈ 3,14 a s čárkou v desetinných číslech. Jdeme na to.

Tereza s Filipem kupují kornouty na školní zmrzlinovou slavnost. Na krabici stojí: průměr 6 cm, hloubka 12 cm. „Kolik zmrzliny se vejde do jednoho?“ přemýšlí Filip. Tereza počítá: „Poloměr 3 cm. Válec by měl 3,14 krát 9 krát 12, asi 339 mililitrů. Kornout je třetina — zhruba 113 ml.“ Filip hvízdne: „Takže kopeček navrch není luxus, ale nutnost. Do špičky se toho vejde míň, než to vypadá.“

Objem a povrch kuželu

Objem:

Krok 1: Poloměr podstavy r (z průměru děleno dvěma). Krok 2: Obsah podstavy: Sp = π · r² ≈ 3,14 · r². Krok 3: Krát výška v, děleno třemi: V = (π · r² · v) / 3.

Příklad: r = 3 cm, v = 10 cm. Sp = 3,14 · 9 = 28,26 cm². V = (28,26 · 10)/3 = 282,6/3 = 94,2 cm³.

Povrch:

Krok 1: Podstava: π · r². Krok 2: Plášť: Spl = π · r · s, kde s je strana (šikmá délka po povrchu ke špičce). Krok 3: Sečti: S = π · r² + π · r · s = π · r · (r + s).

Příklad: r = 3 cm, s = 5 cm. S = 3,14 · 3 · (3 + 5) = 3,14 · 24 = 75,36 cm².

Výška a strana spolu kamarádí přes Pythagora: strana s je přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami r a v. Takže s² = r² + v². Pro r = 3 a v = 4: s² = 9 + 16 = 25, s = 5. Když zadání dá jen výšku a chce povrch, stranu si dopočítáš — trojice 3, 4, 5 tu na tebe čeká podezřele často.

Příklad 1: objem kornoutu

Zadání: Kornout má průměr 6 cm a výšku 12 cm. Kolik cm³ zmrzliny pojme?

Postup: Průměr 6 cm → poloměr r = 3 cm.

Podstava: 3,14 · 3² = 3,14 · 9 = 28,26 cm².

Objem: V = (28,26 · 12)/3 = 339,12/3 = 113,04 cm³.

Kontrola smyslem: to je asi 113 ml — malý kelímek. Pro kornout uvěřitelné.

Odpověď: Kornout pojme přibližně 113 cm³ zmrzliny.

Příklad 2: povrch party kloboučku

Zadání: Papírový klobouček (kužel bez podstavy — hlava dno nepotřebuje) má poloměr 7 cm a stranu 20 cm. Kolik papíru na jeden klobouček?

Postup: Bez podstavy stačí plášť: Spl = π · r · s.

Spl = 3,14 · 7 · 20 = 439,6 cm².

Odpověď: Na klobouček je potřeba asi 440 cm² papíru.

Všimni si čtení zadání: „bez podstavy“ škrtá člen π · r². U kuželu vždycky rozmysli, jestli těleso dno má (kornout se zmrzlinou zespodu nezavíráš, dopravní kužel taky ne).

Příklad 3: stranu dopočítej Pythagorem

Zadání: Kužel má poloměr 3 cm a výšku 4 cm. Spočítej objem i celý povrch.

Postup: Objem z výšky: V = (3,14 · 9 · 4)/3 = 113,04/3 = 37,68 cm³.

Na povrch potřebuju stranu s: s² = r² + v² = 9 + 16 = 25, takže s = 5 cm.

Povrch: S = π · r · (r + s) = 3,14 · 3 · 8 = 75,36 cm².

Kontrola smyslem: strana (5) vyšla delší než výška (4) — šikmá cesta je delší, sedí.

Odpověď: V = 37,68 cm³, S = 75,36 cm².

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si objem válce — kužel je přesně jeho třetina. Počítej s π ≈ 3,14, desetinná čísla piš s čárkou.

Procvičit příklady

Na papír

Náčrtek s vyznačeným r, v a s ke každé úloze. Počítej s π ≈ 3,14.

1. Kužel: r = 5 cm, v = 6 cm. Spočítej objem a ověř, že je třetinou válce se stejnými rozměry.

2. Dopravní kužel bez podstavy: r = 15 cm, s = 50 cm. Kolik cm² materiálu na plášť?

3. Kužel: r = 6 cm, v = 8 cm. Dopočítej stranu Pythagorem a spočítej celý povrch.

4. Kornout: průměr 8 cm, výška 15 cm. Kolik ml pojme? (1 cm³ = 1 ml. Nezapomeň vydělit průměr dvěma.)

Teď ty 💪

1. Umíš objem kuželu odvodit z válce (třetina) a nemusíš si pamatovat vzorec izolovaně.
2. Rozlišuješ výšku v (objem) a stranu s (povrch) a umíš je spojit Pythagorem.
3. Z průměru děláš poloměr dřív, než sáhneš na vzorec.

Co si z téhle lekce odnést

• Objem kuželu: V = (π · r² · v) / 3 — třetina válce.
• Povrch: podstava π · r² plus plášť π · r · s.
• Výška v jde vnitřkem (objem), strana s po plášti (povrch).
• Stranu a výšku spojuje Pythagoras: s² = r² + v².
• Průměr nejdřív vyděl dvěma. Vždycky.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Pogoji uporabe vsebine