Koule: povrch a objem

Nejdokonalejší těleso

Míč, bublina, planeta. Koule je těleso, které nemá hrany, stěny ani vrcholy — jen jeden střed a jeden poloměr r. Každý bod povrchu je od středu stejně daleko.

Právě proto je na výpočty nejjednodušší na zadání: stačí jediné číslo. Zato vzorce si tentokrát musíš zapamatovat — neodvodíš je z hranolu ani válce jednoduchým dělením.

Objem koule: V = (4/3) · π · r³. Všimni si třetí mocniny: r³ = r · r · r.

Povrch koule: S = 4 · π · r². Tady je mocnina druhá.

Pomůcka, ať se ti nepletou: objem je vždycky „krychlový“ (cm³ → třetí mocnina), povrch „čtverečný“ (cm² → druhá mocnina). Mocnina ve vzorci ladí s jednotkou výsledku.

Ta trojka v mocnině má důsledek, který stojí za zapamatování: dvakrát větší poloměr znamená osmkrát větší objem. Malé zvětšení míče, obrovské zvětšení obsahu. Dnes si to spočítáš černé na bílém.

Adam se Sofií vybírají v obchodě plážový míč. Menší má průměr 30 cm, větší 60 cm a je třikrát dražší. „Dvakrát větší míč za trojnásobek? Zlodějina,“ mračí se Adam. Sofie počítá: „Počkej. Poloměry 15 a 30 cm. Objem roste s třetí mocninou: dvakrát větší poloměr je dva na třetí — osmkrát víc vzduchu.“ Adam zamrká: „Osmkrát víc míče za trojnásobek ceny. Beru ten velký.“ Třetí mocnina umí překvapit — oběma směry.

Objem a povrch koule krok za krokem

Objem:

Krok 1: Zjisti poloměr. Z průměru: r = průměr / 2. Krok 2: Třetí mocnina: r³ = r · r · r. Piš mezivýsledek. Krok 3: Dosaď: V = (4/3) · π · r³. Prakticky: r³ krát π, krát 4, děleno 3.

Příklad: r = 3 cm. r³ = 27. V = (4/3) · 3,14 · 27 = 4 · 3,14 · 9 = 113,04 cm³. (Fígl: 27/3 = 9, dělení třemi si udělej hned, ať jsou čísla malá.)

Povrch:

Krok 1: Poloměr r. Krok 2: Druhá mocnina r². Krok 3: S = 4 · π · r².

Příklad: r = 3 cm. r² = 9. S = 4 · 3,14 · 9 = 113,04 cm².

Ano, pro r = 3 vyjde objem i povrch číselně stejně — to je náhoda téhle trojky, ne pravidlo. Jednotky se liší: cm³ proti cm².

Polokoule (kopule, miska): objem je polovina koule. Povrch pozor — půlka koule (2 · π · r²) plus kruhové víko (π · r²), pokud ho těleso má. Zase platí: přečti zadání a rozmysli, které plochy tam skutečně jsou.

Příklad 1: objem míče

Zadání: Fotbalový míč má průměr 22 cm (zaokrouhleno). Kolik litrů vzduchu obsahuje? (1 litr = 1000 cm³)

Postup: Poloměr: r = 22/2 = 11 cm.

Třetí mocnina: 11³ = 11 · 11 · 11 = 121 · 11 = 1331.

Objem: V = (4/3) · 3,14 · 1331 ≈ 4 · 3,14 · 443,7 ≈ 5572,8 cm³.

Převod: 5572,8 cm³ ≈ 5,6 litru.

Odpověď: V míči je zhruba 5,6 litru vzduchu — víc než dvě velké láhve limonády.

Příklad 2: povrch glóbusu

Zadání: Glóbus má poloměr 20 cm. Kolik cm² papíru s mapou je potřeba na jeho polepení?

Postup: Polepení = povrch.

r² = 400.

S = 4 · 3,14 · 400 = 5024 cm².

Kontrola smyslem: 5024 cm² je zhruba půl metru čtverečního — na glóbus o průměru 40 cm uvěřitelné.

Odpověď: Na polepení je potřeba asi 5024 cm², tedy přibližně 0,5 m² mapového papíru.

Příklad 3: dvakrát větší poloměr

Zadání: Menší koule má r = 2 cm, větší r = 4 cm. Kolikrát má větší koule větší objem?

Postup: Menší: r³ = 8, V = (4/3) · 3,14 · 8 ≈ 33,49 cm³.

Větší: r³ = 64, V = (4/3) · 3,14 · 64 ≈ 267,95 cm³.

Podíl: 267,95/33,49 = 8.

Odpověď: Osmkrát. Dvojnásobný poloměr = 2³ = 8násobný objem. Povrch by narostl „jen“ čtyřikrát (2²). Proto velké balení bývá výhodnější — obsah roste rychleji než obal.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si obsah kruhu (π · r²) — povrch koule je přesně čtyřikrát tolik. Počítej s π ≈ 3,14, zaokrouhli na desetiny.

Procvičit příklady

Na papír

Mocniny piš s mezivýsledky, π ≈ 3,14, jednotky ke každému výsledku.

1. Koule s poloměrem 6 cm: spočítej objem. (Nápověda: 6³ = 216 a 216/3 = 72.)

2. Koule s průměrem 10 cm: spočítej povrch. Nejdřív poloměr!

3. Polokoule (kopule) s poloměrem 3 m: kolik m² plechu na její oplechování? (Jen kulatá část, bez podstavy.)

4. Porovnej: koule s r = 3 cm a koule s r = 9 cm. Kolikrát víc objemu má větší? Odhadni přes třetí mocninu (3³) a ověř výpočtem.

Teď ty 💪

1. Umíš oba vzorce a víš, který má druhou a který třetí mocninu (podle jednotek výsledku).
2. Třetí mocninu počítáš postupně s mezivýsledky.
3. Víš, že dvojnásobný poloměr = osminásobný objem, a umíš to zdůvodnit.

Co si z téhle lekce odnést

• Objem koule: V = (4/3) · π · r³. Povrch: S = 4 · π · r².
• Mocnina ladí s jednotkou: třetí pro cm³, druhá pro cm².
• r³ = r · r · r, piš mezivýsledky.
• Dvojnásobný poloměr = 8krát větší objem, 4krát větší povrch.
• U polokoule rozmysli, jestli se počítá i kruhové víko.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Pogoji uporabe vsebine