Složená tělesa · Kodiraj z Martinom

Rozřež a sečti

Věž se špičatou střechou. Zmrzlina v kornoutu. Tužka s ořezanou špičkou. Svět není z čistých krychlí a koulí — je ze složených těles: známé tvary slepené dohromady.

A přesně tak se i počítají. Žádné nové vzorce dneska nebudou. Jen jedna strategie: rozřež těleso v hlavě na kusy, které už umíš — kvádr, válec, jehlan, kužel, polokouli — spočítej každý zvlášť a sečti.

U objemu to platí doslova: objem celku = součet objemů dílů. Vzduch uvnitř věže = vzduch v kvádru + vzduch v jehlanové střeše.

U povrchu pozor: sečíst všechno by byla chyba. V místě, kde se díly slepily, plocha zmizela uvnitř — kruh mezi válcem a polokoulí zvenku nikdo nevidí. Počítá se jen to, co je opravdu vidět zvenku.

Tohle je nejpraktičtější lekce geometrie těles — a taky častý formát přijímačkové úlohy za víc bodů. Pojď řezat.

Jonáš pomáhá tátovi natírat dřevěný sloupek plotu: hranol zakončený jehlanovou špičkou. „Kolik barvy koupíme?“ ptá se táta. Jonáš si sloupek nakreslí: „Čtyři obdélníkové boky hranolu, čtyři trojúhelníky špičky. Dole nic — sloupek sedí v zemi. A horní podstava hranolu taky nic — na ní sedí špička.“ Táta se usměje: „Takže nenatíráme plochy, které nejsou vidět. Přesně tak se počítá povrch: jen to, na co dosáhne štětec.“

💡

Vždycky začni náčrtkem a rozřezáním: čárou vyznač, kde končí jeden díl a začíná druhý. Vedle napiš seznam dílů. Teprve pak sahej po vzorcích.

Strategie na složená tělesa

Krok 1: Poznej díly. Podívej se na těleso a pojmenuj kusy: „To je válec a na něm polokoule.“ „To je kvádr a na něm jehlan.“ Náčrtek s dělicí čárou.

Krok 2: Vypiš rozměry každého dílu. Pozor na sdílené rozměry: poloměr válce = poloměr polokoule na něm. Výška celku = výška kvádru + výška jehlanu, takže výšku dílu občas musíš dopočítat odečtením.

Krok 3: Objem = prostý součet. V = V₁ + V₂. Funguje vždycky. Existuje i odečítání: trubka = velký válec minus vyvrtaný malý válec.

Krok 4: Povrch = jen viditelné plochy. Projdi těleso v hlavě zvenku jako natěrač: kterých ploch se štětec dotkne? Slepené podstavy vynech. U věže (kvádr + jehlan): 4 stěny kvádru + dno (pokud je vidět) + 4 trojúhelníky střechy. Horní podstava kvádru a podstava jehlanu zmizely ve slepení.

Krok 5: Jednotky a kontrola smyslem. Všechny díly ve stejných jednotkách! Když je válec v metrech a špička v centimetrech, nejdřív sjednoť. A výsledek porovnej s odhadem: věž nemůže mít menší objem než samotný kvádr, ze kterého se skládá.

Příklad 1: objem věže (kvádr + jehlan)

Zadání: Věžička má tvar kvádru 4 × 4 × 9 m, na něm sedí jehlan se čtvercovou podstavou 4 × 4 m a výškou 3 m. Jaký je objem věže?

Postup: Rozřežu: kvádr + jehlan.

Kvádr: V₁ = 4 · 4 · 9 = 144 m³.

Jehlan: V₂ = (4 · 4 · 3)/3 = 48/3 = 16 m³.

Součet: V = 144 + 16 = 160 m³.

Kontrola smyslem: střecha přidala jen 16 m³ ke 144 — špička je malá část celku, sedí.

Odpověď: Objem věže je 160 m³.

Příklad 2: zmrzlina (kužel + polokoule)

Zadání: Kornout je kužel s poloměrem 3 cm a výškou 10 cm, navrchu sedí polokoule zmrzliny se stejným poloměrem. Kolik cm³ zmrzliny je celkem (kornout je plný)?

Postup: Sdílený rozměr: r = 3 cm pro oba díly.

Kužel: V₁ = (3,14 · 9 · 10)/3 = 282,6/3 = 94,2 cm³.

Polokoule: celá koule (4/3) · 3,14 · 27 = 113,04 cm³, polovina V₂ = 56,52 cm³.

Součet: V = 94,2 + 56,52 = 150,72 cm³.

Odpověď: Zmrzliny je asi 150,7 cm³ — z toho víc než třetina je ten kopeček navrchu.

Příklad 3: povrch sloupku (viditelné plochy)

Zadání: Sloupek: kvádr 20 × 20 × 100 cm, nahoře jehlanová špička s podstavou 20 × 20 cm a výškou stěny 15 cm. Sloupek stojí na zemi. Kolik cm² natíráš?

Postup: Natěračská prohlídka: 4 boky kvádru — ano. Dno — ne (stojí na zemi). Horní podstava kvádru — ne (sedí na ní špička). 4 trojúhelníky špičky — ano.

Boky: 4 · (20 · 100) = 8000 cm².

Trojúhelníky: 4 · (20 · 15)/2 = 4 · 150 = 600 cm².

Součet: 8600 cm².

Odpověď: Natíráš 8600 cm², tedy 0,86 m². Slepené a zakryté plochy se nepočítají.

⚠️

U povrchu nesčítej slepené plochy. Součet povrchů obou dílů je skoro vždycky špatně — místo slepení je schované uvnitř. Projdi těleso očima natěrače: co štětec nenatře, to do povrchu nepatří. U objemu se naopak sčítá všechno — vzduch uvnitř je jedno velké společné bydlení.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si objem válce — je to nejčastější díl složených těles. Počítej s π ≈ 3,14, piš s čárkou.

Procvičit příklady

Na papír

Náčrtek s dělicí čárou a seznam dílů u každé úlohy. Pak teprve vzorce.

Domeček: kvádr 6 × 4 × 3 m se sedlovou střechou tvaru trojbokého hranolu (trojúhelník: základna 4 m, výška 1,5 m, délka 6 m — objem = obsah trojúhelníku krát délka). Spočítej objem celého domečku.
Silo: válec s poloměrem 2 m a výškou 5 m, navrchu polokoule se stejným poloměrem. Spočítej celkový objem.
Tužka: válec s poloměrem 0,4 cm a délkou 15 cm, špička kužel se stejným poloměrem a výškou 1,5 cm. Objem celé tužky? Zaokrouhli na desetiny.
U sila z úlohy 2 vypiš seznam viditelných ploch (stojí na zemi). Které plochy se do povrchu nepočítají a proč?

Teď ty 💪

Každé složené těleso nejdřív rozřežeš náčrtkem na známé díly.
Objemy sčítáš všechny, u povrchu jen viditelné plochy.
Hlídáš sdílené rozměry a stejné jednotky napříč díly.

✅

Hotovo, když: Máš spočítané objemy tří složených těles a u jednoho správně vytříděné viditelné plochy povrchu.

Co si z téhle lekce odnést

Složené těleso = známé díly slepené dohromady. Nové vzorce nepotřebuješ.
Objem celku je součet objemů dílů (někdy i rozdíl — díry).
Povrch = jen plochy viditelné zvenku. Slepení zmizelo uvnitř.
Náčrtek s dělicí čárou a seznam dílů je půlka řešení.
Sdílené rozměry (společný poloměr, dělená výška) čti ze zadání pozorně.