Věty o podobnosti trojúhelníků

Nemusíš měřit všechno

Minule jsi podobnost ověřoval(a) poctivě: všechny strany, všechny podíly. U trojúhelníků existuje zkratka. Trojúhelník je tak pevně stavěná věc, že stačí ověřit kousek — a zbytek platí sám.

Té zkratce se říká věty o podobnosti. Jsou tři a jmenují se podle toho, co ověřuješ: uu (úhel, úhel), sus (strana, úhel, strana) a sss (strana, strana, strana).

Nejužitečnější je věta uu: když se dva trojúhelníky shodují ve dvou úhlech, jsou podobné. Hotovo. Žádné měření stran. Proč stačí dva úhly? Protože třetí je dopočítaný zadarmo — součet úhlů v trojúhelníku je vždycky 180°.

Věta uu je pracant celé geometrie: stín stromu, výška budovy, rampy, mapy. Kdekoliv najdeš dva stejné úhly, máš podobnost — a s ní výpočet délky, na kterou nedosáhneš metrem.

Dneska si všechny tři věty osaháš a hlavně: naučíš se stejné úhly v obrázcích vidět.

Adam s Terezou stojí u školy a měří ji — bez žebříku. „Sluneční paprsky jdou na nás i na školu pod stejným úhlem,“ vysvětluje Tereza, „a my i škola stojíme kolmo k zemi. Dva stejné úhly — trojúhelník ze mě a mého stínu je podobný trojúhelníku ze školy a jejího stínu.“ Adam měří: Terezin stín 2 m, Tereza 1,6 m, stín školy 15 m. „Takže škola je 1,6 krát 15 děleno 2… 12 metrů!“ Věta uu právě změřila budovu.

💡

Stejné úhly hledej na třech místech: společný úhel (trojúhelník v trojúhelníku), pravé úhly (svislé věci na vodorovné zemi) a rovnoběžky proťaté přímkou.

Tři věty a kdy kterou

Věta uu (úhel, úhel): shodují-li se trojúhelníky ve dvou úhlech, jsou podobné. Nejrychlejší z vět — úhly se často shodují „zadarmo“: oba trojúhelníky mají pravý úhel, sdílejí společný vrchol, nebo je vyrábějí rovnoběžky.

Věta sss (strana, strana, strana): všechny tři podíly odpovídajících stran vyjdou stejně. To je přesně kontrola z minulé lekce — teď má jméno.

Věta sus (strana, úhel, strana): dva podíly stran jsou stejné a úhel MEZI těmi stranami se shoduje. Pozor: úhel musí být sevřený mezi měřenými stranami, jinak věta neplatí.

Jak vybrat: co ti zadání dává? Úhly → uu. Všechny strany → sss. Dvě strany a úhel mezi nimi → sus.

A pak počítej. Jakmile větou dokážeš podobnost, máš právo napsat koeficient a dopočítat neznámou stranu:

k = známá strana velkého / odpovídající strana malého, neznámá strana = odpovídající strana · k.

Postup u úloh: 1) načrtni oba trojúhelníky, 2) vyznač shodné úhly obloučky, 3) napiš větu, kterou podobnost platí, 4) sestav koeficient, 5) dopočítej. Náčrtek není okrasa — bez něj spáruješ špatné strany.

Příklad 1: věta uu se společným úhlem

Zadání: Trojúhelníky ABC a ADE mají společný úhel u vrcholu A a strany BC a DE jsou rovnoběžné. Dokaž podobnost.

Postup: První shodný úhel: úhel u A je společný — oba trojúhelníky ho sdílejí.

Druhý shodný úhel: BC a DE jsou rovnoběžky proťaté přímkou AB, takže úhel u B se rovná úhlu u D (souhlasné úhly).

Dva shodné úhly → podle věty uu jsou trojúhelníky podobné.

K čemu to je: tahle situace (menší trojúhelník uvnitř většího, spojený rovnoběžkou) je nejčastější obrázek přijímačkových úloh na podobnost.

Příklad 2: sss s čísly

Zadání: Trojúhelník K má strany 6, 8, 12 cm, trojúhelník L má strany 9, 12, 18 cm. Jsou podobné? Pokud ano, jaký je koeficient?

Postup: Seřadím strany a dělím odpovídající: 9/6 = 1,5. Dále 12/8 = 1,5. A 18/12 = 1,5.

Všechny tři podíly jsou 1,5 — podle věty sss jsou podobné.

Odpověď: Ano, k = 1,5. Každá strana trojúhelníku L je jedenapůlkrát delší.

Kdyby třetí podíl vyšel třeba 1,4, celá podobnost padá — sss chce všechny tři.

Příklad 3: dopočet strany přes uu

Zadání: Trojúhelníky jsou podobné podle uu. Menší má strany 4 cm a 7 cm, větší má stranu odpovídající té čtyřcentimetrové dlouhou 10 cm. Jak dlouhá je strana odpovídající sedmičce?

Postup: Koeficient ze spárovaných stran: k = 10/4 = 2,5.

Neznámá strana = 7 · 2,5 = 17,5 cm.

Zkouška úvahou: větší trojúhelník má všechno dvaapůlkrát — 4 → 10 sedí, 7 → 17,5 drží stejný poměr.

Odpověď: 17,5 cm. Nejdřív věta (právo počítat), pak koeficient, pak strana.

⚠️

U věty sus musí být úhel MEZI stranami. Dvě dvojice stran ve stejném poměru plus shodný úhel někde bokem podobnost nezaručí. Sevřený úhel je ten, který obě měřené strany svírají — v náčrtku ho vidíš mezi nimi. Když je jinde, věta sus mlčí a musíš hledat jinou cestu.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Podobné trojúhelníky a koeficient — dopočítej stranu velkého. Piš celé číslo.

Procvičit příklady

Na papír

Náčrtky povinně. Obloučky na shodné úhly, pak věta, pak výpočet.

Narýsuj trojúhelník s úhly 40° a 60° a druhý, dvakrát větší, se stejnými úhly. Změř odpovídající strany a ověř, že podíl je všude stejný.
Trojúhelníky se stranami 5, 7, 9 a 15, 21, 27: kterou větou dokážeš podobnost? Napiš všechny podíly a koeficient.
Trojúhelníky podobné podle uu: menší má strany 6 a 9 cm, větší má místo šestky 15 cm. Dopočítej druhou stranu.
Tyč vysoká 1 m vrhá stín 1,5 m. Strom vrhá stín 9 m. Načrtni oba trojúhelníky, napiš, proč jsou podobné (uu), a spočítej výšku stromu.

Teď ty 💪

Umíš vyjmenovat tři věty (uu, sus, sss) a říct, co která ověřuje.
Víš, proč u uu stačí dva úhly — třetí dopočítá součet 180°.
V úloze se stínem umíš ukázat, kde jsou dva shodné úhly.

✅

Hotovo, když: Máš podobnost dokázanou všemi třemi větami na různých úlohách a výšku stromu spočítanou přes uu.

Co si z téhle lekce odnést

Věty uu, sus a sss dokazují podobnost bez měření všeho.
uu je nejrychlejší: dva shodné úhly stačí.
Shodné úhly vyrábí společný vrchol, pravé úhly a rovnoběžky.
U sus musí být úhel sevřený mezi měřenými stranami.
Postup: náčrtek → věta → koeficient → dopočet strany.