Finále Řešitele

Všechno, co teď umíš

Třicátá lekce. Zastav se na chvíli a podívej se zpátky — protože to, co máš za sebou, je celá matematika deváté třídy.

Algebra: lomené výrazy s podmínkami, rovnice s neznámou ve jmenovateli, soustavy dvou rovnic dvěma metodami a slovní úlohy, které do nich přeložíš. Funkce: stroj na čísla, přímka, parabola, hyperbola a čtení grafů. Geometrie: podobnost s větami uu, sus, sss, stín, který měří stromy, a základy goniometrie. Tělesa: jehlan, kužel, koule a skládačky z nich. Peníze a data: úrok jednoduchý i složený, diagramy, které nelžou, a pravděpodobnost. A k tomu přijímačková příprava: počítání, geometrie, slovní úlohy, strategie.

Dnes nic nového. Finále je velký mix — projdeš napříč vším a najdeš slabá místa, dokud je čas je zalepit.

Jedno si odnes nad rámec vzorců: naučil(a) ses pracovat spolehlivě. Postup na papír, zkouška, kontrola smyslem, odpověď na otázku. To je dovednost na celý život — vzorce se dají dohledat, tahle ne.

Celá parta sedí u Sofie na zahradě nad hromadou popsaných papírů z celého roku. „Pamatujete, jak nám soustavy přišly jako černá magie?“ směje se Filip. Tereza listuje sešitem: „A teď je řešíme dvěma metodami a ještě si vybíráme, která je rychlejší.“ Jonáš zvedne kalkulačku: „Složený úrok, pravděpodobnost, kužel… my jsme fakt spočítali celou devítku.“ Ema pozvedne limonádu: „Na Řešitele. A na to, že přijímačky nás nepřekvapí.“ Adam doplní: „Překvapíme my je.“

Velká mapa Řešitele

Projdi si mapu a u každé zastávky si odpověz: umím začít úlohu?

Lomené výrazy (1–3): podmínka jmenovatel ≠ 0, krácení přes vytýkání, rovnice se zkouškou.

Soustavy (4–7): dosazovací (vyjádři a dosaď se závorkou), sčítací (vyruš neznámou), slovní úlohy s legendou a zkouškou proti zadání.

Funkce (8–12): y = ax + b je přímka (a sklon, b start), x² dělá parabolu, k/x hyperbolu se stálým součinem. Grafy čti po osách.

Podobnost a goniometrie (13–16): koeficient k z podílu stran, obsah roste s k², věty uu/sus/sss, stínová metoda, sin/cos/tan jako poměry stran.

Tělesa (17–20): jehlan a kužel = třetina hranolu/válce, koule (4/3)πr³ a 4πr², dvě výšky nezaměnit, složená tělesa rozřezat, povrch jen viditelný.

Peníze, data, náhoda (21–24): úrok = vklad · sazba/100, složené úročení násobí (1 + p/100) každý rok, diagramy s poctivou osou, pravděpodobnost = příznivé/všechny.

Přijímačky (25–28): postup na papír, náčrtek, překlad slovních úloh, čtyři fáze testu, pravidlo dvou minut.

Kde jsi zaváhal(a), tam se vrať — čísla lekcí máš v závorkách.

Příklad 1: napříč algebrou

Zadání: Vyřeš soustavu x + y = 11 a x − y = 3, pak ověř, že řešení splňuje rovnici 12/(x − 4) = y − 1 (a nezapomeň na podmínku).

Postup: Sčítací metoda: 2x = 14, takže x = 7 a y = 4.

Druhá část — podmínka: x ≠ 4. Sedmička projde.

Dosadím: 12/(7 − 4) = 12/3 = 4. Pravá strana: 4 − 1 = 3. A 4 ≠ 3 — rovnici řešení NEsplňuje.

Odpověď: Soustava dává [7; 4], ale ověřovaná rovnice pro ně neplatí. I „nesedí“ je plnohodnotný výsledek ověření — přesně tak funguje matematická poctivost.

Příklad 2: napříč geometrií

Zadání: Stan má tvar jehlanu se čtvercovou podstavou 4 × 4 m a výškou 3 m. Tyč vedle stanu vrhá stín 2 m a měří 1 m, stín stanu (od středu podstavy) měří 6 m. Sedí výška stanu se stínovou metodou?

Postup: Stínová metoda: koeficient k = 6/2 = 3, výška = 1 · 3 = 3 m. Sedí se zadanou výškou.

Bonus objem: V = (4 · 4 · 3)/3 = 16 m³.

Odpověď: Stín potvrzuje výšku 3 m a stan pojme 16 m³ vzduchu. Podobnost a tělesa v jedné úloze — přesně takhle míchá i test.

Příklad 3: napříč penězi a náhodou

Zadání: Dostaneš 5 000 Kč. Uložíš je na 2 roky s úrokem 10 % ročně (složeně). Z výsledné částky pak chceš koupit los za 55 Kč, kde vyhrává 1 los z 5. Kolik máš po dvou letech a jaká je šance na výhru?

Postup: Spoření: 5 000 · 1,1 = 5 500 Kč po prvním roce, 5 500 · 1,1 = 6 050 Kč po druhém.

Los: pravděpodobnost výhry = příznivé/všechny = 1/5, tedy 20 %.

Odpověď: Po dvou letech máš 6 050 Kč a los vyhrává s pravděpodobností 1/5. Rada zdarma: úrok je jistý, los ne — 4 z 5 losů je jen dražší papír.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Závěrečný mix jako u přijímaček — rovnice, procenta, zlomky, Pythagoras, obsahy. Zlomky piš jako a/b, desetinná čísla s čárkou. Dej si sérii aspoň dvakrát.

Procvičit příklady

Finálová sada na papír

Jedna úloha z každé velké oblasti. Postup, zkouška, odpověď — jako v ostrém testu.

1. Algebra: vyřeš soustavu 2x + y = 16 a x − y = 2 (metoda dle vlastní volby) a udělej zkoušku v obou rovnicích.

2. Funkce: funkce y = 3x − 2. Sestav tabulku pro x = 0, 1, 2, 3, urči, kde přímka protíná osu y, a pro jaké x je y = 13.

3. Tělesa: kužel s poloměrem 3 cm a výškou 4 cm — objem, strana (Pythagoras) i povrch, π ≈ 3,14.

4. Peníze a náhoda: 8 000 Kč na 2 roky při 10 % složeně; z výsledku vypočítej, kolik zbyde po nákupu za 1 680 Kč. A pravděpodobnost, že z 3 červených a 5 modrých kuliček vytáhneš červenou (zlomkem).

Teď ty 💪

1. Z každé velké oblasti (algebra, funkce, geometrie, tělesa, peníze, náhoda) vyřešíš aspoň jednu úlohu bez nápovědy.
2. Máš sepsaný seznam zaváhání — témat na cílené opakování.
3. Držíš rituál: postup na papír, zkouška, kontrola smyslem, odpověď na otázku.

Co si z téhle lekce odnést

• Zvládl(a) jsi celou devítku: výrazy, soustavy, funkce, podobnost, tělesa, peníze, data i pravděpodobnost.
• Největší výhra není vzorec, ale pracovní rituál: postup, zkouška, smysl, odpověď.
• Slabá místa hledej podle zaváhání „jak začít“ — a trénuj právě ta.
• Přijímačky jsou hra o jisté body, čas a klid. Máš na všechny tři plán.
• Matematika nekončí testem — rozpočty, úroky a grafy tě provázejí dál. Teď jim rozumíš.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Vilkår for indholdsbrug