Úlohy o pohybu · Kod med Martin

Dráha, rychlost, čas a rovnice: jak počítat setkání dvou aut i dohánění kamaráda na kole.

Kdy se potkají?

Dvě auta vyjedou proti sobě. Cyklista dohání kamaráda. Vlak jede z Prahy, druhý z Brna. Kdy se potkají? Tyhle úlohy mají pověst strašáka — a přitom stojí na jediném vzorci, který už umíš otáčet: s = v · t.

Dráha = rychlost krát čas. Kdo jede 60 km/h dvě hodiny, ujel 120 km. To je celá fyzika, kterou potřebuješ.

Zbytek je překlad na rovnici, přesně jako minule. Klíčové jsou dvě situace:

Jedou proti sobě: jejich dráhy se sčítají. Potkají se, když společně ujedou celou vzdálenost mezi sebou.

Jeden dohání druhého: dohonění nastane, když mají oba stejnou dráhu od startu.

Jako x se skoro vždycky označuje čas — protože od vyjetí běží oběma stejně. Nakresli si situaci úsečkou, dosaď do s = v · t pro každého zvlášť a rovnice se sestaví skoro sama.

Filip vyrazil na kole na chatu rychlostí 12 km/h. Za hodinu zjistí táta, že si Filip zapomněl klíče, a vyráží za ním autem rychlostí 60 km/h. Ema (sedí vedle táty) počítá: „Filip má náskok 12 km. Za každou hodinu se přiblížíme o 60 − 12 = 48 km.“ Táta: „Takže 12 : 48 = čtvrt hodiny.“ Za 15 minut opravdu vidí Filipa u lesa. Ema si zapíše do mobilu: náskok děleno rozdílem rychlostí. „Rovnice by řekla to samé: 60t = 12 + 12t.“

💡

Vždycky si nakresli úsečku: kdo vyjíždí odkud, kterým směrem a jakou rychlostí. Obrázek za deset sekund nahradí deset minut zmatku.

Dva vzory: proti sobě a dohánění

Vzor 1: proti sobě. Města jsou vzdálená 210 km. Auto z prvního jede 60 km/h, z druhého 80 km/h, vyjedou současně. Kdy se potkají?

Označ: t = čas jízdy (hodiny) — pro oba stejný.

Dráhy: první auto 60t, druhé 80t. Při setkání mají dohromady celých 210 km:

60t + 80t = 210 → 140t = 210 → t = 1,5.

Potkají se za 1,5 hodiny. Kontrola: 90 + 120 = 210 km. Sedí.

Vzor 2: dohánění. Chodec vyjde rychlostí 4 km/h. O hodinu později vyrazí za ním cyklista rychlostí 12 km/h. Za jak dlouho ho dohoní?

Označ: t = čas jízdy cyklisty. Chodec šel o hodinu déle: (t + 1).

Dohonění = stejná dráha: 12t = 4(t + 1) → 12t = 4t + 4 → 8t = 4 → t = 0,5.

Dohoní ho za půl hodiny. Kontrola: cyklista 6 km, chodec za 1,5 h taky 6 km. Sedí.

Hlídej jednotky: km/h chce hodiny, ne minuty. Půl hodiny piš jako 0,5 h.

Příklad 1: vlaky proti sobě

Z měst vzdálených 360 km vyjedou proti sobě dva vlaky, jeden 70 km/h, druhý 50 km/h. Kdy se potkají?

t = čas jízdy obou vlaků.

Rovnice: 70t + 50t = 360 → 120t = 360 → t = 3 hodiny.

Kontrola: první ujede 210 km, druhý 150 km, dohromady 360. Sedí.

Pomůcka pro rychlou hlavu: přibližují se rychlostí 70 + 50 = 120 km/h, takže 360 : 120 = 3. Rovnice a selský rozum říkají totéž.

Příklad 2: dohánění s náskokem

Adam vyběhl na trénink rychlostí 8 km/h. O půl hodiny později za ním vyjela mamka na kole rychlostí 16 km/h. Za jak dlouho ho dohoní?

t = čas jízdy mamky. Adam běží o 0,5 h déle: (t + 0,5).

Stejná dráha: 16t = 8(t + 0,5) → 16t = 8t + 4 → 8t = 4 → t = 0,5 h.

Dohoní ho za půl hodiny. Kontrola: mamka 8 km, Adam za hodinu běhu taky 8 km. Sedí.

Příklad 3: jak daleko od města?

Otázka z minulého příkladu navíc: jak daleko od domova mamka Adama dohoní?

Vezmu spočítané t = 0,5 h a dosadím do dráhy kohokoli z nich:

Mamka: s = 16 · 0,5 = 8 km.

Ověřím Adamem: s = 8 · 1 = 8 km. Stejné číslo — to je dobré znamení, dohonění znamená stejnou dráhu.

Úlohy o pohybu mívají dvě otázky: KDY (to je t z rovnice) a KDE (to je dosazení t do s = v · t). Nezapomeň dočíst zadání do konce.

⚠️

Nemíchej minuty a hodiny. Rychlost v km/h + čas v minutách = nesmysl. Půl hodiny je 0,5 h, čtvrt hodiny 0,25 h, 20 minut je třetina hodiny. Převeď čas dřív, než sestavíš rovnici.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si rovnice — úloha o pohybu je jen rovnice, která se převlékla za auta a vlaky.

Procvičit příklady

Na papír

Úsečka, tabulka s, v, t pro každého jezdce, rovnice, odpověď větou.

Města jsou vzdálená 300 km. Vyjedou proti sobě auta rychlostmi 40 km/h a 60 km/h. Nakresli úsečku, sestav rovnici a spočítej, za jak dlouho a kde se potkají.
Tereza jde na výlet rychlostí 5 km/h. O hodinu později vyrazí Jonáš na koloběžce rychlostí 15 km/h. Za jak dlouho ji dohoní a kolik kilometrů přitom ujede?
Cyklista jede 3 hodiny rychlostí 18 km/h. Jakou rychlostí by musel jet, aby stejnou trasu zvládl za 2 hodiny? (Nejdřív spočítej dráhu.)
Vymysli vlastní úlohu o dohánění se dvěma lidmi z tvé rodiny a vyřeš ji.

Teď ty 💪

Umím rozlišit „proti sobě“ (dráhy sčítám) a „dohánění“ (dráhy jsou stejné).
Jako x volím čas a hlídám, kdo jede jak dlouho.
Jednotky mám sladěné: km/h s hodinami.

✅

Hotovo, když: Máš tři vyřešené úlohy s náčrtky a odpověďmi větou, jednu vlastní vymyšlenou a sérii pěti správných v tréninku.

Co si z téhle lekce odnést

Celý pohyb stojí na s = v · t.
Proti sobě: dráhy se sčítají na celou vzdálenost.
Dohánění: dráhy se rovnají; pozor na náskok v čase.
x je skoro vždy čas. Kreslení úsečky šetří zmatek.
KDY = t z rovnice, KDE = dosazení t do s = v · t.