Obsah trojúhelníku

Trojúhelník je půlka obdélníku

Obsah obdélníku umíš: strany a krát b. Dnes z něj odvodíme obsah trojúhelníku — a slovo „odvodíme“ myslím vážně. Vzorec, kterému rozumíš, se nedá zapomenout.

Vezmi libovolný trojúhelník. Doplň ho druhým, stejným, jen otočeným — a vznikne rovnoběžník. Ten má obsah strana × výška na ni. Trojúhelník je jeho polovina. A proto:

S = (a × vₐ) : 2

Strana a výška na ni — to je celé. Výška vₐ je ta kolmice z lekce 20, která na stranu a dopadá.

Trojúhelník má tři strany, a tedy tři dvojice strana–výška. Kteroukoli z nich můžeš použít a výsledek vyjde vždycky stejný. Vybírej tu, kterou znáš, nebo která se dobře měří. Jediný zákaz: nesmíš vzít stranu a výšku, které k sobě nepatří.

Adam s Jonášem natírají kulisu tvaru trojúhelníku a potřebují vědět, kolik barvy koupit. Základna 2 m, výška kulisy 1,5 m. Jonáš: „Kdyby to byl obdélník 2 na 1,5, jsou to 3 metry čtvereční.“ Adam: „A trojúhelník je půlka — 1,5 m².“ V obchodě čtou: plechovka vystačí na 2 m². „Jedna stačí i na druhý nátěr rohů,“ počítá Jonáš. Cestou zpátky Adam přemýšlí: „Vlastně jsme žádný vzorec nepotřebovali. Stačilo vidět ten obdélník okolo.“

Vzorec, který vidíš

Odvození, kterému věříš: narýsuj trojúhelník, obkresli ho a otočený přilep k původnímu podél jedné strany. Vznikl rovnoběžník se stejnou základnou a výškou. Obsah rovnoběžníku je základna × výška (příští lekce), trojúhelník je půlka. Tedy:

S = (strana × výška na tuto stranu) : 2

Postup výpočtu:

Krok 1: vyber dvojici strana + výška na ni (kolmá!). Krok 2: vynásob. Krok 3: vyděl dvěma. Krok 4: jednotky — strany v cm dají obsah v cm².

U pravoúhlého trojúhelníku je to nejsnazší: odvěsny jsou na sebe kolmé, takže jedna je „strana“ a druhá „výška“. S = (odvěsna × odvěsna) : 2.

Obrácené úlohy: ze vzorce umíš vyjádřit cokoli. Znáš obsah 24 cm² a stranu 8 cm? Výška = 2 × 24 : 8 = 6 cm. (Obsah nejdřív zdvojnásob — vracíš tu půlku — a pak vyděl stranou.)

Jednotky hlídej dvakrát: strana 2 m a výška 50 cm se nesmí násobit, dokud je nesrovnáš (2 m × 0,5 m = 1 m², nebo 200 cm × 50 cm = 10 000 cm² — totéž).

Strana 12 cm, výška na ni 7 cm

Krok 1: dvojice patří k sobě (výška je kolmá na stranu 12 cm).

Krok 2: násobím: 12 × 7 = 84.

Krok 3: půlím: 84 : 2 = 42.

Výsledek: S = 42 cm². Kontrola úvahou: obdélník 12 × 7 by měl 84 cm², trojúhelník je jeho polovina. Nezapomeň na jednotku — obsah je vždycky ve čtverečních jednotkách, protože počítáš, kolik čtverečků 1 × 1 cm se do tvaru vejde.

Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 6 cm a 9 cm

U pravoúhlého trojúhelníku jsou odvěsny na sebe kolmé — hotová dvojice strana + výška.

Výpočet: S = (6 × 9) : 2 = 54 : 2 = 27 cm².

Výsledek: 27 cm². Pozor na návnadu: kdyby zadání uvádělo i přeponu (tady 10,8 cm), do vzorce nepatří. Přepona má svou vlastní výšku, kterou zadání nedalo. Používej jen dvojice, které jsou na sebe kolmé.

Obsah 30 cm², výška 5 cm. Jak dlouhá je strana?

Obrácená úloha — jdu vzorcem pozpátku.

Krok 1: vrátím půlení: 2 × 30 = 60. (Tolik by měl obdélník okolo.)

Krok 2: vydělím výškou: 60 : 5 = 12.

Výsledek: strana měří 12 cm. Kontrola dopředným výpočtem: (12 × 5) : 2 = 30 cm². Sedí. Obrácené úlohy nejsou nová látka — je to stejný vzorec, jen čtený zprava doleva.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Počítej obsah trojúhelníku: strana krát výška, děleno dvěma. Piš jen číslo v cm².

Procvičit příklady

Na papír: obsahy kolem nás

U každé úlohy napiš vzorec, dosazení a výsledek s jednotkou.

1. Vypočítej obsah trojúhelníku se stranou 14 cm a výškou na ni 6 cm.

2. Trojúhelníková vlajka má základnu 40 cm a výšku 90 cm. Kolik cm² látky potřebuješ? A kolik na 10 vlajek?

3. Narýsuj libovolný trojúhelník, změř jednu stranu a sestroj i změř výšku na ni (ryska!). Spočítej obsah svého trojúhelníku.

4. Obsah trojúhelníku je 36 cm² a jedna strana měří 9 cm. Vypočítej výšku na tuto stranu a ověř dopředným výpočtem.

Teď ty 💪

1. Umím vzorec S = (a × vₐ) : 2 a vím, proč se dělí dvěma.
2. Poznám, která výška patří ke které straně (kolmost).
3. Zvládnu obrácenou úlohu: z obsahu a strany dopočítám výšku.

Co si z téhle lekce odnést

• Trojúhelník je polovina rovnoběžníku: S = (strana × výška na ni) : 2.
• Strana a výška k sobě musí patřit — jsou na sebe kolmé.
• U pravoúhlého trojúhelníku poslouží odvěsny.
• Obsah je ve čtverečních jednotkách; strany srovnej na stejnou jednotku.
• Obrácená úloha = stejný vzorec čtený pozpátku.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Nutzungsbedingungen für Inhalte