Pythagorova věta v praxi

Najdi schovaný trojúhelník

Minule jsi počítal(a) trojúhelníky, které ti někdo nakreslil. Jenže život trojúhelníky nekreslí. Život ti dá žebřík, zeď a otázku „dosáhne to?“.

Skutečná dovednost není dosadit do vzorce. Je to uvidět pravoúhlý trojúhelník tam, kde ho nikdo nenakreslil.

Žebřík opřený o zeď: zeď je svislá, země vodorovná, mezi nimi pravý úhel. Žebřík je přepona. Úhlopříčka displeje: displej je obdélník, úhlopříčka ho rozřízne na dva pravoúhlé trojúhelníky. Zkratka šikmo přes park místo chůze po dvou stranách: zase přepona.

Postup je vždycky stejný: nakresli náčrtek, najdi pravý úhel, popiš strany, dosaď, spočítej, zkontroluj, jestli výsledek dává smysl.

Dnes projdeme tři takové situace krok za krokem. Pak už budeš trojúhelníky vidět všude — a to je přesně cíl.

Sofie si kupuje telefon z bazaru. Prodejce píše: „displej 16 cm na výšku, 7,5 cm na šířku“. Jenže telefony se prodávají podle úhlopříčky a Sofie chce vědět, jestli je to ten slavný „7palcový“ model. Nakreslí si obdélník, úhlopříčku, a v duchu vidí trojúhelník. 16² + 7,5² = 256 + 56,25 = 312,25. Odmocnina je 17,7 cm. Vydělí 2,54 (palec je 2,54 cm): skoro přesně 7 palců. „Sedí. A prodejce ani neví, že jsem si ho přepočítala Pythagorem.“

Postup pro slovní úlohy

1. Nakresli situaci. Zeď, země, žebřík. Stačí tři čáry.

2. Najdi pravý úhel. Svislé a vodorovné věci ho svírají skoro vždycky: zeď a podlaha, stožár a země, strany obdélníku.

3. Popiš strany čísly ze zadání. Co je naproti pravému úhlu, je přepona. Žebřík, úhlopříčka, zkratka, napnuté lano — šikmé věci bývají přepona.

4. Dosaď do a² + b² = c² a spočítej jako minule.

5. Zkontroluj smysl. Přepona musí vyjít nejdelší. Žebřík dosáhne výš, než je jeho délka? Chyba. Úhlopříčka kratší než strana? Chyba.

Když čísla nevyjdou hezky (a v praxi skoro nikdy nevyjdou), odmocninu odhadni mezi sousedy a zaokrouhli — třeba na jedno desetinné místo. U měření stejně nikdo nepozná rozdíl milimetru.

Piš jednotky u každého kroku. Metry se nesmí potkat s centimetry v jednom vzorci — nejdřív všechno převeď.

Příklad 1: žebřík u zdi

Žebřík je dlouhý 5 m a stojí 1,4 m od zdi. Jak vysoko dosáhne?

Náčrtek: zeď svislá, země vodorovná, žebřík šikmo — přepona c = 5, odvěsna a = 1,4, hledám odvěsnu b (výšku).

b² = c² − a² = 25 − 1,96 = 23,04.

b = √23,04 = 4,8 m.

Kontrola smyslem: 4,8 m je míň než délka žebříku 5 m. Sedí — šikmý žebřík vždycky dosáhne níž, než je dlouhý.

Příklad 2: zkratka přes park

Park má tvar obdélníku 300 m × 400 m. Ema jde po dvou stranách, Adam šikmo pěšinou. O kolik si Adam zkrátí cestu?

Pěšina je přepona: c² = 300² + 400² = 90 000 + 160 000 = 250 000, takže c = √250 000 = 500 m.

Ema ujde 300 + 400 = 700 m. Adam 500 m.

Rozdíl: 700 − 500 = 200 m. Zkratka ušetří skoro třetinu cesty — proto jsou v parcích vyšlapané pěšiny šikmo.

Příklad 3: uhlopříčka monitoru

Monitor má šířku 53 cm a výšku 30 cm. Prodává se jako „24palcový“. Sedí to?

Úhlopříčka: c² = 53² + 30² = 2809 + 900 = 3709.

c = √3709 ≈ ? Sousedi: 60² = 3600, 61² = 3721. Takže skoro přesně 61 cm — přesněji 60,9.

Palce: 60,9 : 2,54 ≈ 24 palců. Sedí. Obchody uvádějí úhlopříčku, protože je to největší číslo, které o displeji můžou napsat.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Dopočítej stranu pravoúhlého trojúhelníku. Představ si u každého příkladu žebřík nebo úhlopříčku.

Procvičit příklady

Na papír

Tři situace, tři náčrtky. Bez náčrtku se nepočítá.

1. Žebřík dlouhý 6,5 m stojí 2,5 m od zdi. Nakresli náčrtek a spočítej, jak vysoko dosáhne.

2. Obdélníkové hřiště měří 60 m a 80 m. Spočítej úhlopříčku a o kolik metrů je kratší než cesta po dvou stranách.

3. Drak létá na napnuté šňůře dlouhé 50 m. Filip stojí 30 m od místa přímo pod drakem. Jak vysoko drak letí?

4. Změř (pravítkem) šířku a výšku displeje svého telefonu, spočítej úhlopříčku a porovnej s údajem výrobce v palcích (1 palec = 2,54 cm).

Teď ty 💪

1. Umím z textu úlohy nakreslit náčrtek s pravým úhlem.
2. Poznám, že šikmá věc (žebřík, úhlopříčka, lano) bývá přepona.
3. Po výpočtu kontroluju, jestli výsledek dává smysl.

Co si z téhle lekce odnést

• Pravé úhly se schovávají mezi svislým a vodorovným: zeď a země, strany obdélníku.
• Šikmé věci — žebřík, úhlopříčka, zkratka — bývají přepona.
• Postup: náčrtek → pravý úhel → popiš strany → dosaď → zkontroluj smysl.
• Jednotky nejdřív sjednoť, pak počítej.
• Nehezkou odmocninu odhadni a zaokrouhli — u měření to stačí.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Nutzungsbedingungen für Inhalte