Thaletova věta · Code mit Martin

Každý trojúhelník nad průměrem kružnice má pravý úhel. Proč to platí a jak s tím rýsovat.

Pravý úhel zadarmo

Nakresli kružnici a její průměr AB. Pak si vyber jakýkoli bod C na kružnici a spoj ho s A i B. Vznikl trojúhelník ABC.

Teď změř úhel u bodu C. Vyjde 90°. Posuneš C jinam po kružnici? Zase 90°. Kamkoli. Pokaždé pravý úhel.

Tohle je Thaletova věta: každý úhel nad průměrem kružnice, s vrcholem na kružnici, je pravý. Objevil ji Thalés z Milétu před 2600 lety — ještě dřív, než žil Pythagoras.

Zní to jako kouzlo, ale má to důvod, který dnes uvidíš. A hlavně to má použití: Thaletova kružnice je stroj na pravé úhly zadarmo. Potřebuješ narýsovat pravoúhlý trojúhelník s danou přeponou? Tečnu ke kružnici? Ověřit, že je deska stolu pravoúhlá? Thalés to zařídí bez úhloměru.

Vytáhni kružítko — dnes se rýsuje a žasne.

Ve třídě se rýsuje. Učitelka zadala: pravoúhlý trojúhelník s přeponou 8 cm. Adam trápí úhloměr a pokaždé mu vyjde 88° nebo 92°. Tereza jede jinak: narýsuje úsečku AB dlouhou 8 cm, najde střed, nabere do kružítka 4 cm a opíše půlkružnici. Pak si na ní VYBERE bod C — kdekoli se jí líbí — a spojí. Úhloměrem zkontroluje: 90,0°. Adam kouká: „Jak to, že tobě to vychází?“ — „Nevychází. To Thalés. Nad průměrem je pravý úhel vždycky, nemusím ho měřit.“

💡

Thaletova kružnice se rýsuje nad PRŮMĚREM: střed hledej uprostřed úsečky AB a poloměr je polovina AB. Vrchol pravého úhlu pak leží kdekoli na kružnici — kromě bodů A a B.

Proč věta platí a jak s ní rýsovat

Proč to funguje: spoj bod C se středem S kružnice. Úsečky SA, SB i SC jsou všechno poloměry — stejně dlouhé. Vzniknou dva rovnoramenné trojúhelníky (ASC a BSC) a když sečteš jejich úhly, u C se vždycky složí přesně polovina ze 180° — tedy 90°. Detaily uvidíš na střední; teď stačí vědět, že za tím stojí stejná délka poloměrů, žádná náhoda.

Rýsování pravoúhlého trojúhelníku s přeponou AB:

Narýsuj úsečku AB (to bude přepona).
Najdi její střed S — změř a rozpůl.
Opiš kružnici se středem S a poloměrem SA (Thaletova kružnice).
Zvol na kružnici bod C a spoj s A i B. Úhel u C je pravý — zaručeně.

Použití obráceně — test pravého úhlu: máš trojúhelník a chceš vědět, jestli je u C pravý úhel? Narýsuj Thaletovu kružnici nad AB. Leží C na ní? Pravý. Uvnitř kružnice? Tupý. Vně? Ostrý.

Thalés a Pythagoras se skvěle doplňují: Thalés pravý úhel vyrobí, Pythagoras k němu dopočítá strany.

Příklad 1: trojúhelník s přeponou 10 cm

Úkol: narýsuj pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB = 10 cm a odvěsnou AC = 6 cm.

Postup: AB = 10 cm, střed S, Thaletova kružnice s poloměrem 5 cm.

Teď druhá podmínka: AC = 6 cm. Nabírám do kružítka 6 cm, bodnu do A a protnu Thaletovu kružnici — průsečík je C.

Spojím a mám trojúhelník. Kontrola Pythagorem: BC² = 10² − 6² = 64, BC = 8 cm. Změřím na rýsování: 8 cm. Obě věty si potvrdily práci navzájem.

Příklad 2: je roh opravdu pravý?

Filip vyřezal ze dřeva trojúhelníkovou poličku a tvrdí, že má pravý úhel. Strany: 12 cm, 16 cm a přepona 20 cm.

Test Thaletem by chtěl rýsovat. Rychlejší je tady Pythagoras: 12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20². Pravý úhel potvrzen.

A kdy se hodí Thalés? Když úhel potřebuješ NARÝSOVAT nebo když nemáš změřené všechny strany — stačí přepona a kružítko. Dvě věty, dva nástroje; vybírej podle situace.

Příklad 3: kde všude může stát pozorovatel

Rovná zeď galerie má na sobě obraz široký od bodu A do bodu B. Pod jakým úhlem obraz vidíš?

Postav se tak, abys viděl(a) obraz pod pravým úhlem — kde všude to jde?

Odpověď zná Thalés: přesně na kružnici nad průměrem AB. Blíž ke zdi (uvnitř kružnice) vidíš obraz pod tupým, širším úhlem; dál (vně) pod ostřejším.

Tohle není školní hříčka: stejné uvažování používají kameramani a architekti, když řeší zorné úhly.

⚠️

Thaletova věta platí jen nad PRŮMĚREM. Trojúhelník nad obyčejnou tětivou pravý úhel nemá. A vrchol C nesmí splynout s A nebo B — tam žádný trojúhelník nevznikne.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si Pythagorovu větu — s Thaletem tvoří pár: jeden úhel vyrobí, druhý dopočítá strany.

Procvičit příklady

Na papír

Kružítko, pravítko, úhloměr na kontrolu. Rýsuj a přesvědč se.

Narýsuj úsečku AB = 8 cm, její Thaletovu kružnici a tři různé body C₁, C₂, C₃ na ní. Spoj každý s A i B a úhloměrem ověř, že všechny tři úhly jsou pravé.
Narýsuj pravoúhlý trojúhelník s přeponou 12 cm a odvěsnou 7 cm (Thaletova kružnice + kružítko z bodu A).
U trojúhelníku z kroku 2 dopočítej Pythagorem druhou odvěsnu a porovnej se změřenou hodnotou.
Zvol bod C uvnitř Thaletovy kružnice a jiný vně. Změř úhly u C a napiš, jak se mění: uvnitř tupý, vně ostrý.

Teď ty 💪

Umím narýsovat Thaletovu kružnici nad danou přeponou.
Vím, že pravý úhel vzniká jen nad průměrem, ne nad tětivou.
Umím Thaleta zkombinovat s Pythagorem: narýsovat a dopočítat.

✅

Hotovo, když: Máš narýsovanou Thaletovu kružnici se třemi ověřenými pravými úhly a zkonstruovaný trojúhelník s dopočítanou odvěsnou.

Co si z téhle lekce odnést

Úhel nad průměrem kružnice s vrcholem na ní je vždy pravý.
Thaletova kružnice: střed uprostřed přepony, poloměr její polovina.
Je to stroj na pravé úhly — bez úhloměru.
Uvnitř kružnice tupý úhel, na ní pravý, vně ostrý.
Thalés úhel vyrobí, Pythagoras dopočítá strany.