Nepřímá úměrnost jako funkce

Čím víc, tím míň

Nepřímou úměrnost potkáváš od sedmé třídy: čím víc malířů, tím kratší práce. Dneska se na ni podíváš novýma očima — jako na funkci.

Předpis je y = k/x. Číslo k je pevné, x je vstup. Třeba y = 12/x: pro x = 1 je y = 12, pro x = 2 je y = 6, pro x = 3 je y = 4, pro x = 6 je y = 2.

Vidíš to pravidlo? Součin x · y je pořád stejný — vždycky 12. Zdvojnásobíš vstup, výstup se zmenší na polovinu. Proto „nepřímá“: veličiny táhnou opačným směrem.

Graf není přímka ani parabola. Je to hyperbola — křivka, která se blíží k osám, ale nikdy se jich nedotkne. Nemůže: pro x = 0 hodnota neexistuje (dělení nulou — vzpomeň na podmínky z lekce 1) a y = 0 by chtělo nekonečně velké x.

Dneska si hyperbolu nakreslíš a naučíš se nepřímou úměrnost poznat mezi ostatními funkcemi.

Šest kamarádů si objednalo pizza party za 720 Kč. „Po kolika to je?“ ptá se Filip. „720 děleno šesti, 120 na hlavu,“ počítá Tereza. Jenže dva nedorazí. „Tak 720 děleno čtyřmi — 180.“ Filip hvízdne: „Čím míň nás, tím víc platíme. To je nepřímá úměrnost: y = 720/x.“ Tereza kreslí tabulku: 2 lidi po 360, 3 po 240, 4 po 180, 6 po 120. „Součin je vždycky 720. Účet se nezmění, jen se jinak rozřeže.“

💡

Poznávací znamení nepřímé úměrnosti: součin x · y je u všech dvojic stejný. Když v tabulce najdeš stálý součin, máš y = k/x a to k je právě ten součin.

Hyperbola z tabulky

Krok 1: Tabulka pro y = 12/x. Volím dělitele dvanáctky, ať jsou čísla hezká:

x: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y: 12, 6, 4, 3, 2, 1

Krok 2: Kontrola součinem. 1 · 12 = 12, 2 · 6 = 12, 3 · 4 = 12… Všude 12. To je to k.

Krok 3: Zakresli a spoj plynulou křivkou. Žádné pravítko — body leží na oblouku, který zleva padá strmě dolů a doprava se pomalu plíží k ose x. K osám se blíží, nikdy je neprotne.

Proč se nedotkne os: x = 0 je zakázané (12/0 neexistuje — podmínka x ≠ 0). A y = 0 by znamenalo, že 12/x je nula — to se nestane pro žádné x.

Jak poznat nepřímou úměrnost od ostatních:

y = 3x — přímá úměrnost, přímka z počátku. Dvakrát větší x, dvakrát větší y. y = 12/x — nepřímá úměrnost, hyperbola. Dvakrát větší x, poloviční y. y = x² — parabola. Ani jedno z toho.

V praxi: rozpočet dělený mezi lidi, dráha dělená rychlostí (čas jízdy), práce dělená počtem pracantů. Kdykoliv se pevný celek rozděluje, je ve hře y = k/x.

Příklad 1: tabulka a k

Zadání: Funkce y = 24/x. Sestav tabulku pro x = 1, 2, 3, 4, 6, 8 a ověř stálý součin.

Postup: Dělím: 24/1 = 24, 24/2 = 12, 24/3 = 8, 24/4 = 6, 24/6 = 4, 24/8 = 3.

Součiny: 1 · 24 = 24, 2 · 12 = 24, 3 · 8 = 24, 4 · 6 = 24… všude 24.

Odpověď: Tabulka klesá, ale ne rovnoměrně: mezi x = 1 a x = 2 spadne y o 12, mezi x = 6 a x = 8 už jen o 1. Přesně tak vypadá hyperbola — zprudka dolů, pak pozvolna.

Příklad 2: cesta na výlet

Zadání: Do tábora je to 120 km. Zapiš čas jízdy jako funkci rychlosti a spočítej čas pro 40, 60 a 80 km/h.

Postup: Čas = dráha/rychlost, takže y = 120/x (x v km/h, y v hodinách).

Pro x = 40: y = 120/40 = 3 hodiny. Pro x = 60: y = 120/60 = 2 hodiny. Pro x = 80: y = 120/80 = 1,5 hodiny.

Kontrola součinem: 40 · 3 = 120, 60 · 2 = 120, 80 · 1,5 = 120. Sedí.

Odpověď: Čím rychleji, tím kratší čas — ale zrychlení ze 60 na 80 ušetří jen půl hodiny, zatímco ze 40 na 60 celou hodinu.

Příklad 3: najdi k z jedné dvojice

Zadání: Veličiny x a y jsou nepřímo úměrné. Pro x = 4 je y = 9. Napiš předpis a spočítej y pro x = 6.

Postup: U nepřímé úměrnosti je k = x · y. Tedy k = 4 · 9 = 36.

Předpis: y = 36/x.

Pro x = 6: y = 36/6 = 6.

Zkouška: 6 · 6 = 36 — součin drží.

Odpověď: y = 36/x a pro x = 6 je y = 6. Jedna dvojice hodnot stačí na celý předpis — to je síla stálého součinu.

⚠️

Ne každé klesání je nepřímá úměrnost. Funkce y = −2x + 10 taky klesá, ale je to přímka a součin x · y se mění. Nepřímá úměrnost má dvě poznávací znamení zároveň: předpis y = k/x a stálý součin v tabulce. Zkontroluj součin u dvou tří dvojic, než úlohu prohlásíš za nepřímou úměrnost.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si dosazování do výrazů — hodnoty hyperboly počítáš stejným pohybem. Piš celé číslo.

Procvičit příklady

Na papír

Jedna hyperbola, jedno rozhodování a jeden výpočet ze života.

Sestav tabulku y = 18/x pro x = 1, 2, 3, 6, 9, 18 a nakresli graf plynulou křivkou. Ověř stálý součin.
Rozhodni s odůvodněním: úloha „5 sešitů stojí 60 Kč, kolik stojí 8 sešitů“ — přímá, nebo nepřímá úměrnost? A úloha „3 čerpadla vypustí bazén za 8 hodin, jak dlouho 4 čerpadla“?
Brigáda za 960 Kč se dělí mezi party. Spočítej podíl na osobu pro 2, 4, 6 a 8 lidí.
Veličiny jsou nepřímo úměrné a pro x = 3 je y = 8. Najdi k, napiš předpis a spočítej y pro x = 12.

Teď ty 💪

Umíš z jedné dvojice hodnot najít k (součinem) a napsat předpis y = k/x.
Rozlišíš přímou a nepřímou úměrnost podle toho, jestli veličiny rostou spolu, nebo proti sobě.
Víš, proč hyperbola nikdy neprotne osy.

✅

Hotovo, když: Máš nakreslenou hyperbolu se stálým součinem, správně roztříděné úlohy na přímou a nepřímou úměrnost a jeden předpis nalezený z jediné dvojice.

Co si z téhle lekce odnést

Nepřímá úměrnost je funkce y = k/x. Graf je hyperbola.
Poznávací znamení: součin x · y je u všech dvojic stejný (rovná se k).
Zdvojnásobení x znamená poloviční y.
Hyperbola se k osám blíží, ale nikdy je neprotne — x = 0 je zakázané.
Pevný celek dělený mezi víc dílů = nepřímá úměrnost v praxi.