Podobnost v praxi

Změř, na co nedosáhneš

Věty máš, koeficient umíš. Dneska podobnost nasadíme naostro — na věci, které metrem nezměříš: výšku stromu, šířku řeky, vzdálenost na mapě.

Princip je pořád stejný. Najdeš dva podobné trojúhelníky: jeden malý, který změřit umíš, a jeden velký, ve kterém sedí neznámá. Koeficient přenese měření z malého na velký.

Nejslavnější trik je stínová metoda. Slunce svítí na všechno pod stejným úhlem. Ty a tvůj stín tvoříte trojúhelník. Strom a jeho stín tvoří podobný trojúhelník (věta uu: pravý úhel u země + stejný úhel slunce). Změříš sebe, svůj stín a stín stromu — výška stromu vypadne.

Druhý velký nástroj je mapa. Měřítko 1 : 25 000 je koeficient podobnosti: skutečnost je 25 000krát větší než papír.

Tohle je lekce, kde geometrie přestává být o obrázcích v sešitě a začíná měřit svět. Vezmi metr, půjdeme ven — aspoň v představách.

Filip se vsadil s Emou, že zjistí výšku stožáru u hřiště bez lezení. Počká na slunce, postaví se vedle stožáru a měří: „Já měřím 1,5 metru a můj stín 2 metry. Stín stožáru… 16 metrů.“ Ema počítá: „Tvůj trojúhelník: výška 1,5, stín 2. Stožár: výška ?, stín 16. Stín se natáhl osmkrát, takže výška taky: 1,5 krát 8 je 12 metrů.“ Filip zvedne pěst: „Vyhráno. Slunce měřilo za nás.“

Tři nástroje z podobnosti

Nástroj 1: Stínová metoda. Postup: 1) změř svou výšku a délku svého stínu, 2) změř stín objektu, 3) spočítej koeficient k = stín objektu / tvůj stín, 4) výška objektu = tvoje výška · k. Funguje pro strom, stožár, dům — cokoliv svislého na rovné zemi.

Nástroj 2: Mapa a měřítko. Měřítko 1 : 25 000 říká: 1 cm na mapě = 25 000 cm ve skutečnosti = 250 m. Postup: 1) změř vzdálenost na mapě pravítkem, 2) vynásob měřítkem, 3) převeď jednotky (cm → m → km). Vzdálenost 6 cm na mapě 1 : 25 000 je 6 · 25 000 = 150 000 cm = 1,5 km.

Nástroj 3: Trojúhelník přes řeku. Šířku řeky změříš z jednoho břehu: vytyčíš na svém břehu malý trojúhelník podobný velkému (který sahá přes vodu) a přepočítáš koeficientem. Stejná myšlenka, jen naležato.

Společný postup všech tří: načrtni obrázek, vyznač oba trojúhelníky, napiš, proč jsou podobné (skoro vždy uu), spočítej k z dvojice, kterou znáš, a vynásob. A na závěr kontrola smyslem: strom vysoký 12 m je rozumný, strom vysoký 480 m ne. Když vyjde nesmysl, nejspíš jsi převrátil(a) koeficient.

Příklad 1: výška stromu ze stínu

Zadání: Tyč dlouhá 1,2 m vrhá stín 0,8 m. Strom vedle ní vrhá stín 6 m. Jak vysoký je strom?

Postup: Oba trojúhelníky mají pravý úhel u země a stejný sluneční úhel → podobné podle uu.

Koeficient ze stínů: k = 6/0,8 = 7,5.

Výška stromu = 1,2 · 7,5 = 9 m.

Kontrola smyslem: devítimetrový strom je normální vzrostlý strom. A poměr sedí: strom je 7,5krát vyšší než tyč a jeho stín je 7,5krát delší.

Odpověď: Strom je vysoký 9 m.

Příklad 2: výlet podle mapy

Zadání: Na mapě s měřítkem 1 : 50 000 měří trasa k rozhledně 9 cm. Jak dlouhá je doopravdy?

Postup: Měřítko říká: skutečnost = mapa · 50 000.

9 · 50 000 = 450 000 cm.

Převedu: 450 000 cm = 4 500 m = 4,5 km.

Kontrola smyslem: 4,5 km je hodina svižné chůze — rozumný výlet.

Odpověď: Trasa měří 4,5 km. Měřítko je koeficient podobnosti mezi papírem a krajinou; jednotky převáděj až na konci, ať se v nulách neztratíš.

Příklad 3: šířka řeky bez namočení

Zadání: Na břehu vytyčíš trojúhelník: bod A naproti stromu na druhém břehu, od A jdeš 20 m po břehu k bodu B a z B zamíříš na strom. Menší podobný trojúhelník s vytyčenou pomocnou částí má odpovídající strany 4 m (podél břehu) a 3 m (kolmo k řece). Jak široká je řeka?

Postup: Trojúhelníky jsou podobné podle uu (shodný úhel u B, pravé úhly u břehu).

Koeficient: k = 20/4 = 5.

Šířka řeky = 3 · 5 = 15 m.

Odpověď: Řeka je široká 15 m. Stejný výpočet jako u stínu — jen trojúhelníky leží na zemi místo ve vzduchu.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Trénuj přepočet stran koeficientem — jádro každé stínové úlohy. Piš celé číslo.

Procvičit příklady

Na papír (a klidně ven)

Tři měřicí úlohy. Náčrtek, věta uu, koeficient, výsledek, kontrola smyslem.

1. Tyč 1 m vrhá stín 2,5 m, komín vrhá stín 30 m. Spočítej výšku komína a zkontroluj smyslem.

2. Mapa 1 : 100 000: trasa měří 7,2 cm. Kolik km je to doopravdy? A obráceně: kolik cm na mapě je 15 km?

3. Ty měříš 1,6 m a tvůj stín je 2 m. Jak dlouhý stín vrhá v tu samou chvíli dům vysoký 12 m? (Pozor, tady hledáš stín, ne výšku.)

4. Když bude slunce: změř venku stínem výšku něčeho skutečného a zapiš celý postup jako protokol.

Teď ty 💪

1. Umíš vysvětlit, proč jsou stínové trojúhelníky podobné (uu: pravý úhel + stejné slunce).
2. Zvládáš měřítko mapy oběma směry: z mapy do krajiny i zpátky.
3. Každý výsledek prověřuješ kontrolou smyslem.

Co si z téhle lekce odnést

• Podobnost měří to, na co nedosáhneš: stín přenese výšku, mapa vzdálenost.
• Stínová metoda: k = stín objektu / tvůj stín, výška = tvoje výška · k.
• Měřítko mapy je koeficient podobnosti. Jednotky převáděj nakonec.
• Měř oba stíny ve stejnou chvíli — slunce se hýbe.
• Kontrola smyslem odhalí převrácený koeficient okamžitě.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Conditions d'utilisation du contenu