Úlohy o směsích a společné práci

Míchání šťávy, sypání ořechů a dva malíři na jeden plot: dvě klasické úlohy, jeden postup přes rovnici.

Smíchej, rozděl, spočítej

Dvě klasiky dnešní lekce: směsi a společná práce. Vypadají různě, ale obě řeší totéž — jak se skládají části do celku.

Směs: babička míchá levné ořechy za 150 Kč/kg s dražšími za 250 Kč/kg a chce 2 kg směsi za 190 Kč/kg. Kolik čeho nasypat?

Společná práce: jeden malíř natře plot za 6 hodin, druhý za 3. Za jak dlouho ho natřou spolu?

U směsí platí zlaté pravidlo: cena celé směsi = součet cen jednotlivých částí. Kilogramy se sčítají a koruny taky — jen průměrná cena se počítat nesmí (190 není průměr 150 a 250, protože částí není stejně).

U práce se sčítají výkony: kolik práce kdo zvládne za hodinu. Malíř s plotem za 6 hodin natře za hodinu šestinu plotu.

Obě úlohy končí rovnicí. A obě mají kontrolu proti zadání, která tě podrží.

Sofie s mámou vyrábějí domácí limonádu na oslavu. Mají sirup, který se ředí, a chtějí 3 litry nápoje, ve kterém bude přesně 20 % sirupu. „Kolik sirupu naliju?“ ptá se Sofie. Máma: „Dvacet procent ze tří litrů.“ Sofie počítá: 0,2 · 3 = 0,6 litru sirupu, zbytek 2,4 litru vody. Na ochutnávce je limonáda akorát. „A kdybychom měly hotovou slabší limonádu a chtěly ji dochutit?“ — „Pak by to byla rovnice. Části sirupu se sčítají, celek taky.“

💡

U směsí si vždycky napiš tabulku: řádky jsou složky a směs, sloupce množství, cena za kilo (nebo procenta) a celková hodnota. Rovnice pak z tabulky vypadne sama.

Dva vzory: směs a společná práce

Vzor 1: směs. Ořechy za 150 Kč/kg a za 250 Kč/kg, chci 2 kg směsi za 190 Kč/kg.

Označ: x = kilogramy levných ořechů. Dražších je pak (2 − x).

Koruny se sčítají: hodnota levných + hodnota drahých = hodnota směsi:

150x + 250(2 − x) = 190 · 2

150x + 500 − 250x = 380 → −100x = −120 → x = 1,2.

Levných 1,2 kg, drahých 0,8 kg. Kontrola: 180 + 200 = 380 Kč a 380 : 2 = 190 Kč/kg. Sedí.

Vzor 2: společná práce. První natře plot za 6 h → za hodinu 1/6 plotu. Druhý za 3 h → za hodinu 1/3.

Spolu za hodinu: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 plotu.

Když za hodinu zvládnou polovinu, celý plot natřou za 2 hodiny.

Rovnicí totéž: t · (1/6 + 1/3) = 1 (jeden celý plot) → t/2 = 1 → t = 2.

Zapamatuj: u směsí se sčítají koruny (nebo gramy čisté látky), u práce výkony za hodinu. Nikdy nesčítej „ceny za kilo“ ani „hodiny na celek“ napřímo.

Příklad 1: čaj ze dvou druhů

Obchodník míchá čaj za 300 Kč/kg s čajem za 500 Kč/kg. Chce 10 kg směsi za 360 Kč/kg. Kolik kterého druhu?

x = kg levnějšího, (10 − x) = kg dražšího.

300x + 500(10 − x) = 360 · 10

300x + 5000 − 500x = 3600 → −200x = −1400 → x = 7.

Levnějšího 7 kg, dražšího 3 kg. Kontrola: 2100 + 1500 = 3600 Kč na 10 kg = 360 Kč/kg. Sedí. Dražšího je méně — logické, směs je cenou blíž k levnému.

Příklad 2: úklid pokoje ve dvou

Ema uklidí pokoj za 30 minut, Adam za 60. Za jak dlouho ho uklidí spolu?

Výkony za minutu: Ema 1/30 pokoje, Adam 1/60.

Spolu: 1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20 pokoje za minutu.

Celý pokoj: 20 minut.

Kontrola smyslem: spolu to musí být rychlejší než nejrychlejší z nich (30 min), ale ne nula. 20 minut sedí. Kdyby ti vyšlo 45 minut, je někde chyba — pomocník práci nezpomalí.

Příklad 3: ředění šťávy

Máš 2 litry šťávy s 30 % cukru. Kolik vody musíš přilít, aby směs měla jen 20 % cukru?

Cukr se nalitím vody nemění: je ho 0,3 · 2 = 0,6 litru.

x = litry přilité vody. Nový objem: (2 + x). Cukr má tvořit 20 %:

0,6 = 0,2 · (2 + x) → 0,6 = 0,4 + 0,2x → 0,2x = 0,2 → x = 1 litr.

Kontrola: 3 litry směsi, cukru 0,6 litru, podíl 0,6 : 3 = 0,2 = 20 %. Sedí. Trik úloh o ředění: sleduj látku, která se NEMĚNÍ.

⚠️

Cena směsi není průměr cen složek — pokud jich není přesně stejně. A u společné práce nikdy nesčítej časy: dva malíři po šesti hodinách nedají plot za 12 hodin, ale za 3. Sčítají se výkony, ne hodiny.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si procenta z čísla — směsi na nich stojí: 20 % ze 3 litrů musíš sypat z rukávu.

Procvičit příklady

Na papír

Tabulka složek, rovnice, kontrola proti zadání. U práce výkony za hodinu.

Míchá se müsli za 80 Kč/kg s oříšky za 200 Kč/kg. Chceš 3 kg směsi za 120 Kč/kg. Sestav tabulku a rovnici, vyřeš.
Jonáš umyje nádobí za 20 minut, Filip za 30. Spočítej přes výkony, za jak dlouho ho umyjí spolu.
Máš litr šťávy s 40 % ovocné složky. Kolik vody přiliješ, aby měla 25 %? (Sleduj, co se nemění.)
Zkontroluj všechny tři výsledky proti zadání: sedí celková cena, čas i procenta?

Teď ty 💪

U směsí sčítám koruny (nebo čistou látku), ne ceny za kilo.
U společné práce sčítám výkony za hodinu, ne časy.
U ředění sleduju látku, která se nemění.

✅

Hotovo, když: Máš vyřešenou směs, společnou práci i ředění, všechno s kontrolami, a sérii pěti správných v tréninku.

Co si z téhle lekce odnést

Hodnota směsi = součet hodnot složek. Tabulka pomáhá.
Výkon = práce za hodinu. Spolu = součet výkonů.
Při ředění se čistá látka nemění — na ní stavěj rovnici.
Kontrola smyslem: pomocník zrychluje, směs je cenou mezi složkami.
Obě klasiky jsou jen rovnice v jiném kostýmu.