Válec: povrch a objem · Code avec Martin

Konzerva, hrnek i sud jsou válce. Jak spočítat, kolik se do válce vejde a kolik plechu je na něj potřeba.

Konzerva, hrnek, sud

Vezmi kruh a vytáhni ho do výšky — dostaneš válec. Konzerva, hrnek, sklenice, sud, roura, plechovka limonády. Nejčastější těleso ve tvé kuchyni.

Válec má dvě podstavy (kruhy dole a nahoře) a plášť (zeď kolem dokola). Popisují ho dvě čísla: poloměr podstavy r a výška v.

Dvě otázky, dva vzorce:

Kolik se vejde dovnitř? Objem: V = π · r² · v. Je to obsah kruhového dna krát výška — jako sloupec vody: dno a kolik pater na sobě.

Kolik materiálu je na povrch? Povrch: S = 2 · π · r² + 2 · π · r · v. Dvě podstavy plus rozvinutý plášť.

Vypadá to složitě, ale všechno v těch vzorcích už umíš: obsah kruhu z minulé lekce, obvod z předminulé. Válec je jen kruh, který povýšil.

Sofie s tátou zavařují a došly jim sklenice. V obchodě jsou dvě velikosti: úzká vysoká (poloměr 4 cm, výška 12 cm) a široká nízká (poloměr 6 cm, výška 6 cm). „Ta vysoká vypadá větší,“ říká Sofie. Táta: „Spočítej to.“ Vysoká: 3,14 · 16 · 12 = 602,88 cm³. Široká: 3,14 · 36 · 6 = 678,24 cm³. Sofie zamrká: nízká a široká se vejde víc. „Poloměr je ve vzorci na druhou, takže šířka válce vydá za víc než výška.“ Kupují širokou.

💡

Do objemu i povrchu patří POLOMĚR podstavy. Sklenice a hrnky se ale měří přes pusu — to je průměr. Než dosadíš, rozpůl.

Objem a povrch krok za krokem

Objem V = π · r² · v:

Spočítej obsah podstavy: Sp = π · r² (minulá lekce).
Vynásob výškou: V = Sp · v.
Jednotka: cm³ nebo m³ — tři rozměry, trojka v jednotce.

Příklad: r = 3 cm, v = 10 cm. Podstava: 3,14 · 9 = 28,26 cm². Objem: 28,26 · 10 = 282,6 cm³.

Pro tekutiny: 1 litr = 1000 cm³, takže tenhle válec pojme cca 0,28 litru — normální hrnek.

Povrch S = 2πr² + 2πr · v:

Rozstřihni válec: dvě kruhové podstavy (každá πr², proto 2πr²) a plášť. Plášť rozvinutý na stole je obdélník: šířka = obvod podstavy 2πr, výška = v. Odtud 2πr · v.

Příklad se stejným válcem: podstavy 2 · 28,26 = 56,52 cm². Plášť: 2 · 3,14 · 3 · 10 = 188,4 cm². Celkem 244,92 cm².

Kdy co: kolik se VEJDE (voda, kompot, benzin) = objem. Kolik MATERIÁLU (plech, etiketa, barva) = povrch. Etiketa kolem konzervy je jen plášť — bez podstav.

Příklad 1: kolik vody v sudu

Sud na dešťovku má poloměr 30 cm a výšku 90 cm. Kolik litrů pojme?

Podstava: Sp = 3,14 · 30² = 3,14 · 900 = 2826 cm².

Objem: V = 2826 · 90 = 254 340 cm³.

Litry: 254 340 : 1000 = 254 litrů.

Odhad na kontrolu: krabice 60 × 60 × 90 cm by měla 324 litrů; válec vepsaný do ní je menší — 254 sedí.

Příklad 2: etiketa na konzervu

Konzerva má průměr 8 cm a výšku 11 cm. Jak velký papír potřebuje etiketa kolem dokola?

Etiketa je jen plášť: obdélník s šířkou rovnou obvodu a výškou konzervy.

Obvod: o = π · d = 3,14 · 8 = 25,12 cm.

Etiketa: 25,12 · 11 = 276,32 cm² — papír zhruba 25 × 11 cm.

Podstavy se nepočítají: víko a dno etiketu nemají. Vždycky si rozmysli, které části povrchu úloha doopravdy chce.

Příklad 3: povrch celé plechovky

Plechovka limonády: r = 3,3 cm, v = 11,5 cm. Kolik plechu je na ni potřeba?

Podstavy: 2 · 3,14 · 3,3² = 2 · 3,14 · 10,89 = 68,39 cm².

Plášť: 2 · 3,14 · 3,3 · 11,5 = 238,33 cm².

Celkem: 68,39 + 238,33 = 306,72 cm² — asi jako polovina papíru A4.

Počítej po částech a piš mezivýsledky. Jeden dlouhý výpočet v kalkulačce = neviditelné chyby.

⚠️

Nejdřív umocni, pak násob: u V = π · r² · v se mocní JEN poloměr, ne výška. A nezaměň vzorce: objem má r² a jednotku cm³, povrch se skládá z podstav a pláště a má cm². Jednotka tě vždycky prozradí.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Spočítej objem válce: π · r² · v, s π ≈ 3,14. Desetinná čísla piš s čárkou.

Procvičit příklady

Na papír

Změř skutečný válec. Kuchyň je plná úloh z písemky.

Vezmi hrnek: změř průměr pusy a výšku. Spočítej objem v cm³ a převeď na litry. Pak do něj odměrkou nalij vodu a porovnej.
Spočítej objem válce s poloměrem 5 cm a výškou 20 cm. Pak válce s poloměrem 10 cm a výškou 5 cm. Který je větší a proč?
Konzerva má průměr 10 cm a výšku 12 cm. Spočítej obsah etikety (jen plášť).
Roura na dešťovou vodu má poloměr 6 cm a délku 3 m. Spočítej objem (pozor na jednotky: převeď metry na centimetry).

Teď ty 💪

Objem počítám jako obsah podstavy krát výška: V = πr²v.
Povrch skládám z dvou podstav a pláště.
Vím, že 1 litr = 1000 cm³, a hlídám jednotky.

✅

Hotovo, když: Máš změřený a vodou ověřený hrnek, spočítané objemy, etiketu i rouru a sérii pěti správných v tréninku.

Co si z téhle lekce odnést

Objem válce: V = π · r² · v — dno krát výška.
Povrch: S = 2πr² + 2πrv — podstavy plus plášť.
Plášť rozvinutý je obdélník: obvod podstavy krát výška.
Vejde se = objem (cm³), materiál = povrch (cm²).
1 litr = 1000 cm³. Široký válec porazí vysoký.