Vzorce (a+b)², (a−b)², a²−b²

Tři vzorce, které potkáš tisíckrát

(a + b)² — co to je? Pozor, není to a² + b². Zkus čísla: (3 + 4)² = 7² = 49, ale 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Nesedí. Někde se ztratilo 24.

Kde? (a + b)² znamená (a + b)(a + b). Roznásob každý s každým: a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². To ztracené je 2ab — u našich čísel 2 · 3 · 4 = 24. Sedí.

Protože se tenhle výpočet opakuje pořád, zapamatovává se jako vzorec. Dnes se naučíš tři:

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² a a² − b² = (a + b)(a − b).

Nejsou to kouzla k biflování — každý si za minutu odvodíš roznásobením. Ale kdo je zná zpaměti, počítá třikrát rychleji a hlavně: pozná je i pozpátku, což se bude hodit u rovnic.

Adam počítá 21² z hlavy a trvá mu to. Tereza: „Rozlož si to. 21 je 20 + 1. Vzorec: (20 + 1)² = 20² + 2 · 20 · 1 + 1² = 400 + 40 + 1 = 441.“ Adam zkusí sám 19²: „To je (20 − 1)²… 400 − 40 + 1 = 361.“ Pak ho napadne prohodit: „A co 21 · 19?“ Tereza se usměje: „(20 + 1)(20 − 1) = 20² − 1² = 399. Třetí vzorec.“ Adam si píše všechny tři na záložku do sešitu.

Odkud se vzorce berou a jak je použít

Odvození (a + b)²: roznásob (a + b)(a + b) každý s každým: a · a + a · b + b · a + b · b. Členy ab a ba jsou stejné, sloučí se: a² + 2ab + b².

Odvození (a − b)²: stejně, jen s minusem: a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b². Krajní členy mají plus (minus krát minus), prostřední minus.

Odvození a² − b²: roznásob (a + b)(a − b): a² − ab + ba − b². Prostřední členy se vyruší: a² − b². Říká se mu rozdíl čtverců.

Použití dopředu — rychlé umocnění: (x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25. Dosadíš a, b do šablony, hotovo.

Použití pozpátku — rozklad: vidíš x² − 49 a poznáš rozdíl čtverců: x² − 7² = (x + 7)(x − 7). Tohle „poznávání“ je k nezaplacení u rovnic a krácení.

Nejdřív si vždycky urči, co je a a co je b. U (3x + 2)² je a = 3x, b = 2 — a pak a² = 9x², ne 3x².

Příklad 1: (x + 6)²

Šablona: a² + 2ab + b², kde a = x, b = 6.

a² = x². 2ab = 2 · x · 6 = 12x. b² = 36.

Výsledek: x² + 12x + 36.

Kontrola roznásobením: (x + 6)(x + 6) = x² + 6x + 6x + 36 = x² + 12x + 36. Sedí. Vzorec jen přeskočil mezikrok — výsledek je stejný jako poctivé „každý s každým“.

Příklad 2: (2x − 3)²

Šablona: a² − 2ab + b², kde a = 2x, b = 3.

a² = (2x)² = 4x². Pozor: mocní se i dvojka!

2ab = 2 · 2x · 3 = 12x. Se znaménkem minus: −12x.

b² = 9.

Výsledek: 4x² − 12x + 9.

Nejčastější chyba je a² = 2x². Celé a je 2x, takže a² = 2x · 2x = 4x².

Příklad 3: 102 · 98 z hlavy

Vypadá to jako úloha pro kalkulačku. Ale: 102 = 100 + 2 a 98 = 100 − 2.

Takže 102 · 98 = (100 + 2)(100 − 2) = rozdíl čtverců = 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9996.

Z hlavy, za pět sekund. Tenhle trik funguje vždycky, když násobíš dvě čísla stejně vzdálená od kulatého: 21 · 19, 45 · 35, 103 · 97. Vzorce nejsou jen na písemky — šetří práci.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si druhé mocniny do dvaceti — ve vzorcích je potřebuješ bleskově: a², b², 2ab.

Procvičit příklady

Na papír

Každý vzorec jednou odvoď, pak třikrát použij. Odvození je pojistka proti zapomenutí.

1. Odvoď (a + b)² roznásobením (a + b)(a + b). Pak podle šablony spočítej (x + 4)² a (x + 10)².

2. Spočítej (x − 5)² a (3x − 1)². U druhého si nejdřív napiš, co je a a co je b.

3. Rozlož pomocí rozdílu čtverců: x² − 25, x² − 81, 4x² − 9.

4. Spočítej z hlavy pomocí vzorců: 31², 29², 31 · 29. Zapiš u každého, který vzorec jsi použil(a).

Teď ty 💪

1. Umím všechny tři vzorce napsat i odvodit roznásobením.
2. Nezapomínám prostřední člen 2ab.
3. Poznám rozdíl čtverců i pozpátku: x² − 36 = (x + 6)(x − 6).

Co si z téhle lekce odnést

• (a + b)² = a² + 2ab + b² — prostřední člen se nesmí ztratit.
• (a − b)² = a² − 2ab + b² — minus je jen uprostřed.
• a² − b² = (a + b)(a − b) — rozdíl čtverců.
• Když je a = 2x, pak a² = 4x². Mocní se celé a.
• Každý vzorec si umíš za minutu odvodit roznásobením.

© 2026 Ing. Martin Polak / AlgoRhino · Conditions d'utilisation du contenu