Dělitelnost: 2, 3, 5, 10 · Code avec Martin

Poznáš to bez počítání

Jde číslo 738 rozdělit na tři stejné hromádky beze zbytku? Můžeš to zkoušet dělením… nebo to poznat za dvě vteřiny pohledem. Dnes se naučíš detektivní pravidla dělitelnosti.

„Číslo je dělitelné třemi“ znamená: při dělení třemi nevyjde žádný zbytek. 12 je dělitelné třemi (12 : 3 = 4, čistě), 13 není (zbyde 1).

Kouzlo je v tom, že dělitelnost poznáš z číslic, bez dělení:

dvojkou: poslední číslice je sudá (0, 2, 4, 6, 8),
pětkou: poslední číslice je 0 nebo 5,
desítkou: poslední číslice je 0,
trojkou: ciferný součet (sečti všechny číslice) je dělitelný třemi.

K čemu to je? Krácení zlomků (hledáš společné dělitele!), rozdělování lidí do skupin, a za dvě lekce prvočísla. Dělitelnost je rentgen — vidíš do čísla, aniž bys ho rozebíral(a).

Učitelka chce rozdělit 87 kelímků na trojice pro pokusy. „Vyjde to přesně?“ ptá se třídy. Jonáš začne dělit pod sebou, ale Sofie je rychlejší: „Osm plus sedm je patnáct. Patnáct jde dělit třemi — takže 87 taky!“ Učitelka přikývne: „Ciferný součet. Správně.“ Jonáš mezitím dopočítá: 87 : 3 = 29, beze zbytku. Stejný výsledek, ale Sofie ho měla za dvě vteřiny. „Jak jsi to věděla?“ „Trojka se pozná ze součtu číslic. Dvojka a pětka z poslední číslice. Naučím tě to o přestávce.“

💡

U velkých čísel můžeš ciferný součet sečíst ještě jednou: 6987 → 6+9+8+7 = 30 → 3+0 = 3. Trojka dělí, hotovo.

Čtyři pravidla a proč fungují

Dvojka — poslední číslice sudá. Desítky, stovky i tisíce jsou vždy dělitelné dvěma (10 = 2×5). O zbytku rozhoduje jen to, co zbývá — poslední číslice. 734 končí čtyřkou → dělitelné dvěma. Sudá čísla = dělitelná dvěma, je to totéž.

Pětka — poslední číslice 0 nebo 5. Stejná logika: desítky jdou dělit pěti vždycky, rozhoduje konec. 120 ✓, 85 ✓, 82 ✗.

Desítka — poslední číslice 0. Nejpřísnější z trojice: 120 ✓, 125 ✗. Všimni si: co je dělitelné deseti, je automaticky dělitelné dvěma i pěti (10 = 2 × 5).

Trojka — ciferný součet dělitelný třemi. Tady konec čísla nestačí — trojka nesedí do desítkové soustavy hladce (10 : 3 nechává zbytek 1, každá desítka „propašuje“ jedničku zbytku). Proto se sčítají všechny číslice: 738 → 7+3+8 = 18 → 18 : 3 = 6 čistě → 738 je dělitelné třemi.

Postup detektiva: koukni na poslední číslici (2, 5, 10), pak sečti číslice (3). Za pár vteřin víš o čísle víc, než by ti řeklo minutové dělení. A jedno číslo klidně projde více testy najednou: 90 dělí 2, 3, 5 i 10.

Prověř číslo 234

Dvojka: poslední číslice 4 — sudá ✓.

Pětka: končí na 4, ne na 0 ani 5 ✗.

Desítka: nekončí nulou ✗.

Trojka: 2 + 3 + 4 = 9. Devítka jde dělit třemi ✓.

Verdikt: 234 je dělitelné 2 a 3 (a tedy i šesti — kdo je dělitelný dvojkou i trojkou zároveň, je dělitelný jejich součinem). Kontrola: 234 : 2 = 117 ✓, 234 : 3 = 78 ✓.

Prověř číslo 605

Dvojka: končí pětkou — lichá ✗.

Pětka: končí na 5 ✓.

Desítka: nekončí nulou ✗.

Trojka: 6 + 0 + 5 = 11. Jedenáctka třemi dělit nejde (11 : 3 = 3, zbytek 2) ✗.

Verdikt: 605 je dělitelné jen pětkou (z naší čtveřice). Kontrola: 605 : 5 = 121 ✓. Nula uprostřed čísla na pravidla nemá vliv — počítá se poslední číslice a součet všech.

Krácení zlomku 45/60 pomocí dělitelnosti

Hledám společné dělitele čísel 45 a 60 — přesně na to jsou pravidla.

Pětka: 45 končí pětkou ✓, 60 nulou ✓ → oba dělím pěti: 45/60 = 9/12.

Trojka: 9 → ✓, 12 → 1+2 = 3 ✓ → oba dělím třemi: 9/12 = 3/4.

Dál to nejde (3 a 4 nemají společného dělitele). Zlomek 45/60 = 3/4 — a pravidla dělitelnosti mi řekla, čím krátit, aniž bych cokoli zkoušel(a) naslepo.

⚠️

Ciferný součet funguje jen pro trojku (a devítku), ne pro ostatní. Dělitelnost dvojkou z ciferného součtu nepoznáš — 13 má součet 4, a přesto dvojkou dělit nejde. Každý dělitel má svoje pravidlo: konce čísla pro 2, 5, 10; součet číslic pro 3.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Rozhoduj o dělitelnosti bez počítání — jen podle pravidel. Odpovídej ano nebo ne.

Procvičit příklady

Na papír

Detektivní práce: žádné dělení pod sebou, jen pravidla.

Prověř čísla 96, 155, 240 a 413: u každého napiš, kterými čísly z 2, 3, 5, 10 je dělitelné, a podle jakého pravidla.
Najdi všechna čísla mezi 50 a 70, která jsou dělitelná třemi. (Ciferné součty!)
Doplň číslici místo hvězdičky tak, aby číslo 52* bylo dělitelné dvěma i třemi zároveň. Najdi všechny možnosti.
Zkrať zlomky 30/45 a 24/60 — dělitele hledej pravidly dělitelnosti a piš, které pravidlo jsi použil(a).

Teď ty 💪

Poznáš dělitelnost dvěma, pěti a deseti z poslední číslice.
Spočítáš ciferný součet a rozhodneš o dělitelnosti třemi.
Použiješ pravidla při krácení zlomku místo zkoušení naslepo.

✅

Hotovo, když: O libovolném čísle do tisíce rozhodneš bez dělení, zda je dělitelné 2, 3, 5 a 10 — a umíš to využít při krácení zlomků.

Co si z téhle lekce odnést

Dělitelné = při dělení nezbude zbytek.
Dvojka: sudá poslední číslice. Pětka: konec 0 nebo 5. Desítka: konec 0.
Trojka: ciferný součet dělitelný třemi. 738 → 18 → ano.
Dělitelné dvojkou i trojkou zároveň = dělitelné šesti.
Pravidla dělitelnosti = nejrychlejší cesta ke krácení zlomků.