Počítání s lomenými výrazy

Stejná pravidla jako u zlomků

Dobrá zpráva: s lomenými výrazy se počítá úplně stejně jako s obyčejnými zlomky. Žádná nová pravidla. Jen místo čísel občas píšeš x.

Sčítání? Potřebuješ společný jmenovatel — jako u 1/2 + 1/3. Násobení? Čitatel krát čitatel, jmenovatel krát jmenovatel. Dělení? Násobíš převráceným zlomkem.

Kdo umí zlomky, umí i tohle. Kdo zlomky zapomněl, má teď skvělou příležitost si je oživit — v tréninku dole na tebe čekají.

Jediné, co přibývá, jsou podmínky z minulé lekce. U každého výrazu si hned na začátku poznamenej, co nesmí být ve jmenovateli nula.

Dneska projdeme všechny tři operace na jednoduchých výrazech. Žádné dlouhé závorkové obludy — ty na přijímačkách nebývají. Bývá tam přesně tohle: krátký výraz, dvě operace, podmínka.

Filip a Sofie porovnávají úkoly. Filip má u 1/x + 2/x výsledek 3/x, Sofie 3/2x. „Sečetla jsem čitatele i jmenovatele,“ hájí se Sofie. Filip vytáhne obyčejné zlomky: „Kdyby to tak fungovalo, tak 1/4 + 1/4 by byla 2/8, tedy zase 1/4. Dvě čtvrtiny pizzy by byly stejně jako jedna. To by se mi líbilo v obchodě, ale ne na talíři.“ Sofie se zasměje: „Jasně. Jmenovatel se nesčítá. Ten říká, jak velké kousky jsou — a ty se nemění.“

💡

Když si nejsi jistý(á) pravidlem, vyzkoušej ho na obyčejných zlomcích s čísly. Co platí pro 1/2 a 1/3, platí i pro 1/x a 1/y.

Tři operace, tři postupy

Sčítání se stejným jmenovatelem: sečti čitatele, jmenovatel opiš. 2/x + 3/x = 5/x. Podmínka x ≠ 0.

Sčítání s různými jmenovateli: najdi společný jmenovatel. U 1/(2x) + 1/(3x) je společný jmenovatel 6x. První zlomek rozšíříš třemi: 3/(6x). Druhý dvěma: 2/(6x). Součet: 5/(6x).

Násobení: nahoře krát nahoře, dole krát dole. (2/x) · (3/5) = 6/(5x). Před násobením se vyplatí krátit křížem — ušetříš si velká čísla.

Dělení: převrať druhý zlomek a násob. (4/x) : (2/3) = (4/x) · (3/2) = 12/(2x) = 6/x.

U dělení přibývá podmínka navíc: dělit se nesmí nulou, takže ani celý druhý zlomek nesmí být nula. Jeho čitatel proto taky nesmí být nula.

Postup u každého příkladu: nejdřív podmínky, pak operace, nakonec zkrátit výsledek, pokud to jde. Tři řádky, žádný spěch. Většina chyb vzniká přeskakováním kroků z hlavy — na papíře chyba nemá kde vzniknout.

Příklad 1: 3/x + 4/x

Zadání: Sečti 3/x + 4/x.

Postup: Podmínka: x ≠ 0. Jmenovatelé jsou stejné, takže sečtu jen čitatele: 3 + 4 = 7. Jmenovatel opíšu.

Výsledek: 7/x, podmínka x ≠ 0.

Kontrola dosazením: Pro x = 2 je zadání 3/2 + 4/2 = 1,5 + 2 = 3,5. Výsledek 7/2 = 3,5. Sedí.

Příklad 2: 1/(2x) + 1/(3x)

Zadání: Sečti 1/(2x) + 1/(3x).

Postup: Podmínka: x ≠ 0. Jmenovatelé 2x a 3x — společný jmenovatel je 6x.

První zlomek rozšířím třemi: 1/(2x) = 3/(6x). Druhý rozšířím dvěma: 1/(3x) = 2/(6x).

Sečtu čitatele: 3 + 2 = 5.

Výsledek: 5/(6x), podmínka x ≠ 0.

Kontrola: Pro x = 1 je zadání 1/2 + 1/3 = 5/6. Výsledek 5/6. Sedí přesně.

Příklad 3: (6/x) : (3/2)

Zadání: Vyděl (6/x) : (3/2).

Postup: Podmínka: x ≠ 0. Dělení zlomkem = násobení převráceným zlomkem: (6/x) · (2/3).

Nahoře: 6 · 2 = 12. Dole: x · 3 = 3x. Mám 12/(3x).

Zkrátím trojkou: 12/(3x) = 4/x.

Výsledek: 4/x, podmínka x ≠ 0.

Kontrola: Pro x = 2 je zadání (6/2) : (3/2) = 3 : 1,5 = 2. Výsledek 4/2 = 2. Sedí.

⚠️

Jmenovatele se při sčítání nesčítají. 1/x + 1/x není 2/(2x), ale 2/x. Jmenovatel říká velikost kousků — ta se sčítáním nemění. Sčítáš jen počet kousků, tedy čitatele. Kdo si to plete, ať si vzpomene na pizzu: čtvrtina plus čtvrtina je půlka, ne čtvrtina.

Cvičení: teď počítáš ty 🎲

Teď to zkus na ostro. Uvidíš všechny příklady najednou, jako na papíře. Začni deseti. Když ti to jde, přidej.

Zopakuj si sčítání obyčejných zlomků — je to stejný postup jako u lomených výrazů. Zlomky piš jako a/b.

Procvičit příklady

Na papír

Tři operace za sebou. U každého příkladu první řádek podmínka, poslední řádek zkrácený výsledek.

Sečti: 2/x + 5/x a potom 1/(2x) + 1/(4x). U druhého najdi společný jmenovatel 4x.
Vynásob: (3/x) · (2/5) a potom (x/2) · (4/x). U druhého před násobením krať křížem.
Vyděl: (8/x) : (2/3). Převrať, vynásob, zkrať.
Jeden libovolný výsledek ověř dosazením x = 2. Zadání i výsledek musí dát stejné číslo.

Teď ty 💪

Sečetl(a) jsi zlomky s různými jmenovateli přes společný jmenovatel, ne sečtením jmenovatelů.
U dělení jsi převrátil(a) druhý zlomek a pak násobil(a).
Každý příklad má na prvním řádku podmínku x ≠ 0.

✅

Hotovo, když: Máš vyřešené sčítání, násobení i dělení lomených výrazů a jedna kontrola dosazením vyšla.

Co si z téhle lekce odnést

Lomené výrazy se počítají stejně jako obyčejné zlomky.
Sčítání chce společný jmenovatel. Jmenovatele se nikdy nesčítají.
Násobení: nahoře krát nahoře, dole krát dole. Krať křížem předem.
Dělení: převrať druhý zlomek a násob.
Podmínky piš na první řádek — u přijímaček jsou za body.